П.5. Похибки суми та різниці

Приклади

1) а = 23,10 отримане заокругленням деякого точного числа. Скільки в ньому вірних цифр? , то , якщо n = 4.

2) а = 23,071937 містить 5 вірних цифр. Знайти абсолютну похибку.

Згідно (7) m = 1, n = 5, то

3) Абсолютна похибка числа а = 705,1978 складає Визначити, які цифри у числа а є вірними і заокруглити число, залишаючи тільки вірні цифри.

m = 2, , то (найбільше)

Отже заокруглити треба до (705).

Сумарна похибка дорівнює сумі початкової похибки та похибки заокруглення:

Отже можна записати

4) яка відносна похибка наближеного числа а = 4,176, якщо всі його цифри вірні? Згідно (8)

або простіше!

5) скільки вірних десяткових знаків треба взяти в , щоб похибка не перевищувала 0,1%?

а = ≈ 4.....; або

Маємо звідки

Якщо , то

- сума абсолютних похибок. Звідси випливає, що абсолютна похибка алгебраїчної суми, не повинна бути меншою за абсолютну похибку найменш точного доданку. Тому щоб не робити лишніх обчислень не потрібно зберігати лишні знаки в більш точних доданках.

При додаванні чисел різної точності поступають так:

1) виділяють число з найменшою точністю (найбільшою похибкою)

2) більш точні числа заокруглюють так, щоб зберегти в них на 1 знак більше ніж у виділеному числі (1 запасний знак)

3) додають, враховуючи всі збережені знаки

4) отриманий результат заокруглюють на 1 знак.

При n > 10 , якщо всі доданки заокруглені до

m-ого десяткового розряду

Приклад:

Всі цифри вірні в числах.

Вибираємо числа з найменшою точністю: 204,4 і 144,2. Їх похибка -0,05.

Решту чисел заокруглюємо:

.

Заокруглюємо результат до 374,2.

Оцінюємо точність результату:

1) вхідна початкова похибка: сума похибок 2-х найменш точних чисел та похибки заокруглення решти чисел – 0,05 · 2 + 0,005 · 7 ≈ 0,14

2) похибки заокруглення результату: 0,01

Отже ; А = 374,2 ± 0,15 або А = 374,2 ± 0,2.

Аналогічно поступають, якщо наближені числа є від’ємними.

Для зменшення похибки рекомендується:

1. При додаванні чи відніманні довгої послідовності чисел спочатку варто оперувати з найменшими по модулю числами.

2. Треба уникати віднімання близьких по значенню чисел та додавання чисел, що відрізняються на декілька порядків.

Відносна похибка суми знаходиться між найменшою та найбільшою відносною похибкою доданків

При відніманні відносна похибка різниці двох додатних чисел більша за відносні похибки цих чисел, особливо, якщо ці числа близькі між собою, тобто виникає втрата точності

Нехай х = 5,125; у = 5,135; Δх = Δу = 0,0005

,

але

Отже потрібно так перетворити обчислювальну схему, щоб уникнути такої ситуації.

Наприклад,

але якщо зробити , то .

Але перетворити обчислювальну схему не завжди можливо. Тоді при відніманні близьких чисел потрібно брати їх з достатньою кількістю запасних вірних знаків.

Операційні похибки при відніманні близьких чисел зростають. Подібна ситуація характерна при розв’язуванні алгебраїчного рівняння х² + а₁х + а₀ = 0.

Якщо коефіцієнти а₁ і а₀ близькі по абсолютному значенню, то похибка коренів достатньо мала. Але при а₁ >> а₀ відносна похибка меншого по модулю кореня суттєво зростає і при а₁ > 2 · 10⁴ а₀ обчислені за звичайною формулою корені будуть х₁ = - а₁; х₂ = 0. В цих випадках більший обчислюють за формулою , де , а знак кореня протилежний до знаку а₁.

Для обчислення меншого кореня цю формулу потрібно перетворити так: домножити і поділити на множник .

Звідки х₂ = а₀ / х₁.

При розв’язуванні рівняння х² + 10000х + 8 = 0, за звичайною формулою

х₁ = -10000; х₂ = 0,

за перетвореною х₁ = -10000; х₂= -8 · 10^-4.

Дата добавления: 2015-05-23