Алгоритми відділення коренів рівняння

Теорема Больцано-Коші

Якщо неперервна функція F(х) приймає значення різних знаків на кінцях відрізку [а;b] Ì X, тобто F(a)×F(b)< 0, то всередині цього відрізку міститься по крайній мірі один корінь рівняння F(x) = 0, тобто знайдеться хоча б одне число х* Î ] а; b [ таке, що F(х*) = 0.

F(A)>0

F(B)<0

Надалі F’(х) ¹ 0

Теорема 2: Якщо функція F(х) має першу похідну, яка не змінює знаку на відрізку [а;b], то при виконанні умов теореми 1, рівняння F(x) = 0 має на цьому відрізку єдиний корінь.

Є 3 методи відділення коренів: аналітичний, графічний, перебирання.

а ) Аналітичний метод:

1. Знайти область визначення рівняння – множину всіх значень аргумента, при яких визначені функції, що входять в рівняння.

2. Обчислити F’(x) і знайти критичні точки.

3. Записати інтервали монотонності.

4. Дослідити знак функції на кінцях інтервалів монотонності.

5. Виписати відрізки ізоляції коренів.

6. Отримані відрізки ізоляції коренів звузити яким-небудь методом.

F(x) = x³ – 4x² +2 = 0

1. X = [-¥;¥]

2. F’(x) = 3x²-8x; 3x²-8x = 0; ® критичні точки: 0; 8/3;

3. Інтервали монотонності ]-¥, 0[; ]0, 8/3[; ] 8/3, ¥[

4. Дослідження знаку функції на кінцях інтервалів монотонності дає lim F(-¥) = -¥; F(0) = 2; F(8/3) = -202/27; lim F(-¥) = + ¥

5. Відрізки ізоляції коренів ] - ¥, 0 [; ] 0, 8/3 [; ]8/3, +¥[;

6. Методом проб звузимо отримані інтервали

б ) Графічний метод:

1) F(x) = 0;

Будуємо графік функції F(x). Точки претину графіка з віссю абсцисс дають корені рівняння.

2) F(x) = 0 ® f(x)=j(x) і будуємо графіки функцій y₁=f(x) і у₂=j(х). Абсциса точки перетину цих графіків буде коренем рівняння (2).

в) Алгоритм відділення коренів методом послідовного перебору

Велика продуктивність сучасних ЕОМ дає можливість відділити всі дійсні корені рівнянь крім кратних методом послідовного перебору.

Нижню границю А і верхню В коренів вибирають приблизно виходячи із фізичного змісту задачі, що описується рівнянням або із графіку у=F(x). В основі цього методу лежить теорема 1. Вибирається початкове значення х = А, потім з фіксованим кроком Δх = Н обчислюється значення функції F в точках А+ кН (к = 0,1,2...) до тих пір поки вона не змінить знак. Нехай після n-ого кроку в точці х = А + nН функція змінила знак, тоді [А + (n-1)H; A + nH] - відрізок ізоляції кореня, а Р=А+nH – H/2 – наближене значення кореня рівняння з точністю ε = Н/2. Правий кінець цього відрізку приймають за початкове значення наступного кореня, якщо він є.

Дата добавления: 2015-05-23