Комбінований

Mетод дотичних

	Y

x*

X

B

F(b)

F(B)

a

F(A)

A

F(a)

x₀

x₁

x₂

F(a)<0, F(b)>0; F^’(x)>0; F^’’(x)>0. Закріплений кінець b. Нехай x₀=b, тому що F^’(x₀)*F^’’(x₀)>0. Тоді в точці В проводимо дотичну. Її рівняння

y-F(x₀)=F^’(x₀)*(x₁ –x₀)

Точка перетину x₁ відповідає у=0. Тому

x₁-x₀=-F(x₀)/F^’(x₀);

Рекурентна формула - формула методу дотичних.

В якості початкового наближення x₀ вибирається той кінець відрізку ізоляції, де виконується

F^’(x₀)*F^’’(x₀)>0

b

x₁

x₂

x₂

x₁

a

A

B

X

У

Метод ітерацій (метод послідовних наближень)

Для знаходження дійсних коренів рівняння F(x)=0, де F(x) неперервна на [a,b], його замінюють на рівносильне рівняння

x=j(x) (1)

Це можна зробити завжди, причому різними способами. Наприклад:

x³-9x+3=0

1.x=

2. x=

3. x=x³-8x+3

4. 7x=x³-2x+3

Нехай відомий відрізок ізоляції кореня [a,b]. Тоді за початкове наближення шуканого кореня беруть

(2)

Підставляємо x₀ в праву частину (1) і знаходимо перше наближення

x₁=j(x₀) (3)

x₂=j(x1) (4)

Рекурентна формула методу ітерацій:

x_n+1=j(x_n) (5)

Вияснити, чи збігається ітераційна послідовність. Якщо збігається, то

x_n^*=

якщо ні, то процес ітерацій треба замінити іншим.

Можна показати, що метод ітерації можна застосовувати, якщо , де M₁- максимальне значення на відрізку [a,b]

(6)

A

C

x₁

x₀

x₂

x₁

x₀

y=j(x)

y=x

B

X

Y

x=j(x)-точка перетину

цих 2-х графіків є розв’язок

Дата добавления: 2015-05-23