Тензорний характер фізичних властивостей анізотропного середовища

ТЕНЗОРНИЙ ОПИС ВЛАСТИВОСТЕЙ КРИСТАЛІВ.

Демченко Л.Д.

Фізика металів: 1.Тензорний аналіз. 2.Теорія пружності: основні поняття та рівняння. Навч.посіб. — К.:ІВЦ «Політехніка», 2002. —

ISBN 000—000—000—0

Навчальний посібник. Демченко Леся Дмитрівна, к.т.н., доцент

УДК 669:539. 4.011 (082)

ББК

ISBN 000—000—000—0 © Л.Д. Демченко, 2002

Вступ

Теорія пружності є однією з важливих розділів курсів “Фізика металів”, “Фізика твердого тіла”, “Фізика конденсованого стану”, які викладаються студентам спеціальності “Фізичне матеріалознавство” і спеціалізації “Фізика металів”. Крім того, багато питань теорії пружності вивчаються студентами інших спеціальностей в різноманітних спеціальних курсах.

Багато розділів сучасної фізики, такі як фізика твердого тіла,теорія дефектів кристалічної будови, фізика пружності і інші, використовують рівняння теорії пружності і пластичності в тензорнім вигляді. Тому дана методична розробка вміщує тензорний опис фізичних властивостей кристалів, основні поняття і рівняння теорії пружності, опис інших властивостей кристалів.

На основі теорії пружності в наступних частинах даної методичної розробки будуть викладені теорія дефектів кристалічної будови, фізичної теорії пружніх і пластичних властивостей, класичної динаміки кристалічної решітки, вплив дефектів кристалічної будови на фізичні властивості.

Розглянемо провідник, що підкоряється закону Ома – металевий кристал. Якщо кристал ізотропний, тобто, його фізичні властивості однакові в усіх напрямках, то додаток до кристала зовнішнього електричного поля викликає протікання по кристалу електричного поля причому буде виконуватися співвідношення , де σ – коефіцієнт електропровідності. У цьому випадку, природно, вектор густини струму і вектор електричного поля колінеарні.(Р)

Рис.1. Колінеарність векторів і для ізотропного середовища.

Тепер уявимо собі, що кристал анізотропний – властивості його в різних напрямках різні. Протікання струму через кристал у цьому випадку буде відбуватися по більш складному законі, оскільки характер руху електронів у різних частинах кристала, по різних напрямках, буде різним. У результаті того, що в різних місцях кристалів, по різних напрямках, електрони зустрічають різний опір, відбудеться деякий перерозподіл поточного заряду в просторі. У результаті вектор, що описує підсумковий перенос заряду, вектор густини струму, узагалі говорячи, не буде збігатися по напрямку з вектором прикладеного електричного поля.

Очевидно, у цьому випадку кожна складова вектора густини струму залежить від усіх компонентів вектора електричного поля. Найпростішою формулою функціональної залежності є пропорційність.

Рис.2. Непаралельність векторів і для анізотропного середовища.

Тому, найпростішим припущенням про вид залежності складових вектора густини струму від складових зовнішнього електричного поля є постулювання наступних залежностей:

Досвід показує, що ця пропозиція справедлива.

Характерна риса анізотропного середовища: якщо зовнішнє електричне поле, спрямоване вздовж однієї з координатних осей, визначена кількість електрики буде переноситися в перпендикулярних цій осі напрямках. Наприклад, якщо поле прикладене вздовж осі x ₁ (тобто Е ₂=0, Е ₃=0) то:

(1)

З вище сказаного ясно, що у випадку анізотропного середовища процес протікання струму через кристал вимагає для свого опису, крім вказівки величини і напрямку прикладеного електричного поля, задання ще дев'яти величин, що описують властивості середовища:

Оскільки цих величин дев'ять, то їх можна записати у виді квадратної таблиці – матриці:

(2)

Ми, таким чином, приходимо до висновку, що в загальному випадку, коли середовище анізотропне, фізична властивість її задається набором величин (чисел), кількість яких може бути досить велике (у даному випадку їх 10). У математиці існують спеціальні розділи, що займаються розглядом величин, які задаються набором чисел (компонентів). До таких величин відносяться, зокрема, тензори різних рангів – величини, що задаються набором компонентів, які підкоряються визначеним правилам перетворень при переході від однієї координатної системи до іншої.

Для того, щоб відповісти на запитання – є фізична величина, обумовлена набором компонентів, тензором і, якщо так, то яким, необхідно згадати визначення поняття тензора і розглянути деякі характерні властивості цього класу величин.

Визначення поняття тензора містить у собі два основних моменти: задати число компонентів, що визначають тензор даного виду (рангу) і вказати закон, по якому ці компоненти перетворяться при переході від однієї координатної системи до іншої. Тому згадаємо, причому всі основні поняття, що відносяться до операцій перетворення координат.

Домовимося розглядати, тільки декартові координатні системи – на даному етапі переходу до інших координатних систем не потрібний. Нехай деяка декартова координатна система, задана осями - одиничні орти цих осей. Осі взаємно перпендикулярні, тому

(3)

де

Представимо тепер собі другу систему декартових координат, яка повернута на деякий кут відносно першої (поки розглянемо лише такі перетворення координат).

Перетворення координат, на перший погляд, може показатися операцією, що відноситься до області абстрактної теорії. Однак у фізиці теорія перетворення координат грає винятково важливу роль. Це пов'язано з тим, що будь-який фізичний об'єкт має визначену симетрію, і облік цієї обставини в аналітичній формі, шляхом застосування визначених операцій перетворення координат до рівнянь фізичних законів, дозволяє зробити ряд нових, як правило, дуже важливих висновків

Рис.3.“Нова“ і “стара“ координатні системи.

Позначимо орти координатних осей “нової“ системи координат через

де

Очевидно, кожен орт “нової“ системи можна розкласти по ортах “старої“ системи координат.

чи

(4)

Це співвідношення можна записати в ще більш компактній формі, якщо опустити знак суми, але мати на увазі, що підсумовування робиться в кожнім виразі, у якому двічі зустрічається той самий індекс. У цьому випадку формула (4) запишеться у вигляді

(5)

При аналізі кристалів ми завжди будемо мати справу з тривимірним простором, тому кожних з використаних нами індексів завжди буде або приймати одне з трьох значень –1, 2 чи 3, або “пробігати” в даному виразі всі три значення послідовно (індекс, по якому ведеться підсумовування, або індекс, що “пробігає”). Тому надалі в цій главі ми не будемо писати, які значення приймають використовувані нами індекси, пам'ятаючи, що набір їх можливих значень завжди той самий.

Отже, повертаємося до формули (5), яка фактично являє собою три рівності, у кожній з якої права частина є сумою, що містить три члени.

Помноживши це співвідношення, на скалярно і враховуючи те, що

одержуємо

(6)

Очевидно, що для того, щоб цілком визначити положення “нової“ координатної системи відносно “старої”, досить задати дев'ять величин , що являють собою косинуси кутів між осями розглянутих систем. Цей набір величин називають матрицею перетворення:

(7)

Якщо задана матриця , то задане визначене перетворення координат.

Якщо ми умовно будемо називати перехід від координатної системи і координатній системі прямим перетворенням, то перехід від системи до системи буде зворотним перетворенням. Щоб знайти матрицю зворотного перетворення, розкладемо вектори старого базису по новому:

У скороченому записі:

Матриця:

(8)

є оберненою матриці

Помноживши співвідношення скалярно на , одержуємо

Порівнюючи останню формулу з (6), знаходимо наступний зв'язок між елементами матриць (7) і (8):

(9)

Таким чином, матриця оберненого перетворення координат є матрицею, транспонованою матрицею прямого перетворення.

Згадаємо тепер визначення тензорів різних рангів.

1. Тензором нульового рангу є величина, обумовлена в будь-який декартовій системи координат (у будь-якому ортогональному нормованому базисі) одним тим самим числом.

Таким чином, тензор нульового рангу задається одним числом, інваріантним до перетворень ортогонального нормуванням базису (декартової системи координат). Прикладом фізичної властивості твердого тіла, яке описується тензором нульового рангу, є теплоємність.

Варто звернути увагу на розходження між скаляром і описуваного тензором нульового рангу. Скалярна величина так само, як і тензор нульового рангу задається одним числом у будь-який декартовій координатній системі, однак, це число може бути різним у різних координатних системах. Наприклад, проекція вектора швидкості на будь-яку координатну вісь системи є скалярною величиною, однак, це число буде різним у різних координатних системах.

2. Афіннім тензором першого рангу називається величина, що у кожнім ортонормованому базисі задається трійкою чисел, що перетворюються при переході від “не штрихованої“ (старої) координатної системи до “штрихованої“ (нової) системі координат за законом

(9)

Дата добавления: 2015-05-24