Лабораторна робота № 5. Тема: Розв’язок систем лінійних рівнянь, робота з матрицями

Тема: Розв’язок систем лінійних рівнянь, робота з матрицями

Мета: Вивчення можливостей пакета MS Excel при рішенні завдань лінійної алгебри. Придбання навичок Розв’язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь і виконання дій над матрицями засобами пакета.

Розв’язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

Нехай задана СЛАР наступного виду:

Цю систему можна представити в матричному вигляді: AX = b, де - матриця коефіцієнтів системи рівнянь; - вектор-стовбець невідомих, - вектор-стовбець правих частин.

При виконанні лабораторної роботи систему лінійних алгебраїчних рівнянь необхідно буде розв’язувати методом оберненої матриці й методом Крамера.

ПРИКЛАД 1 (переглянути як виконувати завдання по варіантах). Розв'язати систему методом оберненої матриці:

У цьому випадку матриця коефіцієнтів А и вектор вільних коефіцієнтів b мають вигляд:

Уведемо матрицю A і вектор b у робочий аркуш MS Excel (рис. 1).

Рис. 1

У нашому випадку матриця А перебуває в комірках B1:Е4, а вектор b у діапазоні G1:G4. Для Розв’язок системи методом оберненої матриці необхідно обчислити матрицю, обернену до A. Для цього виділимо комірки для зберігання оберненої матриці (це потрібно зробити обов'язково!!!); нехай у нашому випадку це будуть комірка B6:E9. Тепер звернемося до майстра функцій, і в категорії Математичні виберемо функцію МОБР, призначену для обчислення зворотної матриці (мал. 2), клацнувши по кнопці OK, перейдемо до другого кроку майстра функцій.

Рис. 2

У діалоговім вікні, що з'являється на другому кроці майстра функцій, необхідно заповнити поле введення Масив (мал. 3). Це поле повинне містити діапазон комірок, в якому зберігається вихідна матриця - у нашому випадку B1:E4. Дані в поле введення Масив можна ввести, використовуючи клавіатуру або виділивши їх на робочому аркуші, утримуючи ліву кнопку миші.

Рис. 3

Якщо поле Масив заповнене, можна нажати кнопку OK. У першій комірці, виділеного під обернену матрицю діапазону, з'явиться якесь число. Для того щоб одержати всю обернену матрицю, необхідно нажати клавішу F2 для переходу в режим редагування, а потім одночасно клавіші Ctrl+Shift+Enter. У нашому випадку робоча книга MS Excel прийме вид зображений на мал. 4.

Рис. 4

Тепер необхідно помножити отриману обернену матрицю на вектор b. Виділимо комірку для зберігання результуючого вектора, наприклад H6:H9. Звернемося до майстра функцій, і в категорії Математичні виберемо функцію МУМНОЖ, яка призначена для множення матриць. Нагадаємо, що множення матриць відбувається за правилом рядок на стовпець і матрицю А можна помножити на матрицю В тільки в тому випадку, якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. Крім того, при множенні матриць важливий порядок співмножників, тобто АВ≠ВА

Перейдемо до другого кроку майстра функцій. Діалогове вікно, що з'явилося (мал. 5) містить два поля введення Масив1 і Масив2. У поле Масив1 необхідно ввести діапазон комірк, у якім утримується перша з матриць, що перемножуються, у нашому випадку B6:E 9 (зворотна матриця), а в поле Масив 2 комірка, що містять другу матрицю, у нашому випадку G1:G 4 (вектор b).

Рис. 5

Якщо поля введення заповнені, можна нажати кнопку OK. У першій комірці виділеного діапазону з'явиться відповідне число результуючого вектора. Для того щоб одержати весь вектор, необхідно нажати клавішу F2, а потім одночасно клавіші Ctrl+Shift+Enter. У нашому випадку результати обчислень (вектор х), перебуває в комірках H6:H9.

Для того щоб перевірити, чи правильно вирішена система рівнянь, необхідно помножити матрицю A на вектор x і одержати в результаті вектор b. Множення матриці A на вектор x здійснюється за допомогою функції МУМНОЖ(В1:Е4;Н6:Н9), тому що було описаної вище.

У результаті проведених обчислень робочий аркуш прийме вид зображений на мал. 6.

Рис. 6

М етод Крамера.

Уведемо матрицю А и вектор b на робочий аркуш. Крім того, сформуємо чотири допоміжні матриці, заміняючи послідовно стовпці матриці A на стовпець вектора b (мал. 7).

Для подальшого Розв’язок необхідно обчислити визначник матриці A. Установимо курсор у комірко I10 і звернемося до майстра функцій. У категорії Математичні виберемо функцію МОПРЕД, призначену для обчислення визначника матриці, і перейдемо до другого кроку майстра функцій. Діалогове вікно, що з'являється на другому кроці містить поле введення Масив. У цьому полі вказують діапазон матриці, визначник якої обчислюють. У нашому випадку це комірка B1:E4.

Для обчислення допоміжних визначників уведемо формули:

I11=МОПРЕД(B6:E9), I12=МОПРЕД(B11:E14),

I13=МОПРЕД(B16:E19), I14=МОПРЕД(B21:E24).

У результаті в комірці I10 зберігається головний визначник, а в комірках I11:I14 - допоміжні.

Скористаємося формулами Крамера й розділимо послідовно допоміжні визначники на головний. У комірку K11 уведемо формулу =I11/$I$10. Потім скопіюємо її вміст у комірка K12, K13 і K14. Система вирішена.

Рис. 7

Дата добавления: 2015-05-24