Розкриття невизначеностей

При знаходженні границь функцій (послідовностей) ми користуємось арифметичними теоремами в припущенні, що відповідні границі існують, а для частки з додатковою умовою, що границя знаменника відміна від нуля.

В деяких випадках, що залишились без розгляду (коли границі функцій (одна або обидві) нескінченні чи не існують, або у випадку частки - границя знаменника дорівнює нулю) можна цілком визначено сказати як поводить себе відповідна функція. Наприклад, якщо , , , то , , , .

Проте, якщо , то про границю частки ніякого загального твердження ми зробити не можемо. Наприклад, нехай , . Обидві функції при прямують до нуля. Їх відношення також прямує до нуля, коли . Якщо ж, навпаки, , , то . Отже, в залежності від вигляду обох функцій, границя частки може існувати, а може і не існувати. В зв’язку з цим говорять, що мають справу з невизначеністю. А задача знаходження границі в кожному такому випадку називається задачею розкриття невизначеності. Розглянемо найбільш важливі випадки:

а) невизначеність .

Якщо і , то у випадку знаходження границі частки ми маємо невизначеність . У випадку, коли функції та є алгебраїчними, то для розкриття невизначеності в чисельнику і знаменнику слід виділити множник , щоб в подальшому скоротити дріб на цей множник:

1) .

2)

.

В другому прикладі для виділення множника знищили ірраціональність в знаменнику шляхом домноження на спряжений вираз.

б) невизначеність .

Нехай , при . В цьому випадку вираз називають невизначеністю . Як приклад розглянемо відношення двох многочленів. Вираз , , - ціле невід'ємне число, називається многочленом. Перший доданок називається старшим членом, - степенем многочлена. Поведінка многочлена, коли визначається поведінкою старшого члена, тобто . Тому:

1) ,

2) ,

3) .

Наведені приклади можна об'єднати в загальне правило:

границя відношення двох многочленів дорівнює , якщо степінь чисельника більший степеня знаменника; дорівнює 0, якщо степінь чисельника менший степеня знаменника, і дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших членах, якщо степені чисельника і знаменника рівні, тобто

,

де степені многочленів відповідно.

в) невизначеність .

Нехай , при . Тоді вираз дає невизначеність . Щоб розкрити невизначеність такого вигляду, потрібно звести її до невизначеностей вигляду або .

Приклад 3.3 Знайти .

Розв’язування.

.

г) невизначеність .

Розглянемо . Якщо , при , то вираз дає невизначеність . Щоб розкрити невизначеність даного вигляду, як і у попередньому випадку слід звести її до невизначеностей вигляду або .

Дата добавления: 2015-05-24