Розв’язування. а) В точці функція не є неперервною, так як порушується перша умова неперервності – існування

а) В точці функція не є неперервною, так як порушується перша умова неперервності – існування .

б) В точці функція не є неперервною – перша умова неперервності виконується, існує ( = ‑1), проте порушена друга умова – відсутня (точніше, тут існують односторонні границі функції: лівостороння і правостороння , проте їх значення не співпадають).

в) В точці функція неперервна, так як виконуються всі умови неперервності – .

Означення неперервності функції в точці може бути записано і так: , тобто для неперервної функції можливе переставлення символів границі і функції.

Поняття неперервності можна сформулювати і на мові приростів. Приростом аргументу в точці називається різниця . Звідки . Приростом функції в точці називається різниця .

Означення 2 Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в цій точці і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто

.

Приклад 4.2 Довести неперервність функції .

Розв’язування. Розглянемо довільну точку і задамо приріст . Тоді . Знайдемо . Отже за другим означенням неперервності функція неперервна в довільній точці .

Для функцій, неперервних в точці , справедливі арифметичні теореми:

Теорема 1. Якщо функції та неперервні в точці , то в цій точці неперервні функції , , , .(остання – при додатковій умові, що ).

Дата добавления: 2015-05-24