Поняття метричного простору

Розділ 1. Метричні простори

Частина I Елементи функціонального аналізу

Вступ

У час активного наукового розвитку, актуальною є проблема вибору таких засобів навчання, які б давали найкращі результати. Перехід на кредитно-модульну систему, дав поштовх до використання навчально-методичного забезпечення, основу якого складають електронні підручники.

Метою дипломної роботи є підбір матеріалу для написання електронного підручника з деяких розділів курсу математичного аналізу, що сприяє підвищенню ефективності самостійної роботи студентів та створення відповідного посібника.

У ході виконання дипломної роботи нами створений такий навчальний посібник, який містить розділи “Елементи функціонального аналізу” та “Диференціальне числення функцій багатьох змінних”.

В існуючих підручниках з математичного аналізу є різні підходи до висвітлення одних і тих же питань, що викликає певні труднощі. Ці підручники писалися в той період, коли деякі питання сучасної програми не вивчались і навпаки. Тому нашим завданням було зібрати необхідні матеріали, як єдине ціле. Що ми й зробили.

Електронний підручник складається з двох частин. У першій – “Елементи функціонального аналізу”, введено поняття метричного простору, скалярного добутку, відкритих та замкнених множин, неперервних відображень. В цій частині також висвітлено теорію компактних множин, повних метричних просторів. Детально розглянуто властивості функцій неперервних на компактах, а також принцип стискуючих відображень.

У другій частині “Диференціальне числення функцій багатьох змінних” дано поняття дійсної функції багатьох змінних, часткового приросту функції по змінній х_і, викладено основи диференціального числення функцій багатьох змінних. Докладно розглянуто питання диференційовності функцій, інваріантності форми диференціала та похідної за напрямком. Окремі розділи відведено для частинних похідних та диференціалів вищих порядків, теорії неявних функцій та екстремумів функцій.

В математичному аналізі ми часто зустрічаємося з поняттям границі. Причому в деяких випадках для послідовності одних і тих же об’єктів, в зв’язку з різними задачами, вводяться різні поняття границі. Всі ці поняття збіжності мають те спільне, що збіжність послідовності елементів { х_п } до елемента х₀ означає необмежене “наближення” х_п до х₀, необмежене зменшення “відстані” між цими елементами, коли номер п необмежено зростає. В залежності від того, як ми розуміємо відстань між елементами х_п і х₀, ми отримаємо різні означення границі. Тоді є зручним для деяких множин елементів дати загальне поняття відстані між елементами, а потім ввести за допомогою цієї відстані поняття границі. Такі множини називаються метричними просторами.

Означення 1.1. Множина Χ називається метричним простором, якщо для будь-яких x, y із множини Χ ставиться у відповідність дійсне число ρ(x,y) і при цьому виконуються наступні умови:

1) ρ(x,y) ≥0, при чому ρ(x,y) =0 тоді і тільки тоді, коли x=y (аксіома тотожності);

2) ρ(x,y)=ρ(y,x) (аксіома симетрії);

3) x,y,z є Χ виконується умова ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) (аксіома трикутника).

Прикладами метричних просторів є: відрізок, 3-вимірний простір. Елементи простору називаються точками простору, ρ(x,y) називається відстанню між елементами x,y. Якщо введена відстань, то говорять, що введена метрика.

Якщо візьмемо будь-яку множину, то можна ввести метрику, поклавши ρ(x,y) =1, якщо x¹y і ρ(x,y) =0, якщо x=y.

Дата добавления: 2015-05-24