Замкнені множини і їх властивості

Означення 3.1. Множина F метричного простору Х, називається замкненою, якщо вона містить всі свої граничні точки.

Інакше кажучи, F – замкнена множина, якщо .

Наприклад: сегмент [ a;b ] – замкнена множина; множина, яка складається з скінченної кількості точок – замкнена ( Æ). Покажемо, що замкнена куля є замкненою множиною. Для цього треба показати, що якщо –гранична точка , то . Нехай гранична точка . Тоді внаслідок теореми 1.1, знайдеться послідовність , яка збігається до . За теоремою 1.4 розділу 2, маємо . Оскільки , то , тобто . Твердження доведено.

Теорема 3.1. Об’єднання скінченного числа замкнених множин є множиною замкненою.

Доведення. Нехай , – замкнені множини. Покажемо, що F – замкнена множина. Нехай . Покажемо, що є граничною точкою хоча б однієї з . Доведемо від супротивного. Припустимо, що не є граничною точкою жодної з множин . Так як , то існує окіл в якому нема жодної точки з (відмінної від ). Аналогічно, існує окіл , в якому нема жодної точки з (відмінної від ) і т. д. Існує окіл в якому нема жодної точки з (відмінної від ). Тоді в околі де нема жодної точки з , а значить і з об’єднання (відмінної від ). Тобто . Прийшли до протиріччя. Таким чином . Внаслідок замкненості точки , а значить і об’єднанню . Теорему доведено.

Зауваження: об’єднання нескінченної множини замкнених множин може і не бути замкненим. Це випливає з наступного прикладу: .

Кожна з множин замкнена, а об’єднання цих множин не є замкненим, ((-1;1) не є замкненою множиною).

Дата добавления: 2015-05-24