Відкриті множини і їх влативості

Нехай Х – метричний простір.

Означення 4.1. Множина метричного простору називається відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою точкою цієї множини.

Весь простір Х – відкрита множина. Порожня множина за означенням є відкритою. Будь-яка куля є відкритою множиною. Покажемо це. Нехай , тобто <r. Позначимо через . Якщо , то . Отже . Таким чином кожна точка кулі належить кулі , тобто . Значить кожна точка є внутрішньою точкою.

Нехай Е множина простору Х. Через СЕ будуть позначати доповнення множини Е до простору Х.

Теорема 4.1. Для того, щоб множина G метричного простору Х була відкритою, необхідно і достатньо, щоб доповнення СG цієї множини до простору Х було замкненим.

Доведення.Необхідність. Нехай G – відкрита множина, і гранична точка СG. Покажемо, що . Припустимо, що . Тоді . Так, як G є відкритою множиною, то – внутрішня точка цієї множини, а тому існує окіл цієї точки, який повністю міститься в G і, значить, в ньому нема жодної точки з СG, що суперечить означенню граничної точки. Таким чином . Тобто якщо , то . Множина СG – замкнена.

Достатність. Нехай СG – замкнена і . Внаслідок замкненості СG точка не може бути точкою дотику CG. Значить існує окіл такий, що в ньому немає жодної точки CG, тобто міститься повністю в G. Таким чином кожна точка множини G є внутрішньою точкою цієї множини. Тобто множина G – відкрита.

Теорема 4.2. Переріз скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною.

Теорема 4.3. Об’єднання довільної множини відкритих множин є множина відкрита.

Доведення обох теорем – схожі. Ми доведемо теорему 4.2.

Нехай , де – відкриті множини. Розглянемо доповнення СG множини G до простору Х. . Так як кожна множина відкрита, то доповнення СG_і – замкнене. Внаслідок теореми 3.1, множина є замкненою множиною, а множина G внаслідок теореми 4.1, є відкритою множиною.

Зауваження до теореми 4.2. Переріз нескінченної множини відкритих множин може і не бути відкритою множиною. Це видно з наступного прикладу:

.

Дата добавления: 2015-05-24