Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Приклади повних метричних просторів




Розділ 6. Повні метричні простори

Раніше ми показали, що коли послідовність елементів { хп } метричного простору Х має границю, то вона фундаментальна. Був приведений приклад, який показував, що обернене твердження взагалі кажучи невірне.

Означення 1.1 Метричний простір називається повним, якщо будь-яка фундаментальна послідовність цього простору має границю.

Прикладом повного метричного простору є R – множина дійсних чисел. Простір, елементами якого є раціональні числа і відстань між числами визначається рівністю не є повним.

Покажемо повноту просторів Rn, l2, C[a;b].

Встановимо повноту Rn

Нехай маємо фундаментальну послідовність { x(m) } елементів простору Rn: x(m)=(x1(m), x2(m),…,xn(m)).

З нерівності , вірної при кожному і,(і=1,2,..., п) і фундаментальності { x(m) } випливає фундаментальність кожної з послідовностей { xi(m) }, і=1,2,…,п, а, значить і збіжність, внаслідок критерію Коші збіжності числової послідовності. Нехай . Тоді послідовність { x(m) } збігається до х(0)=(х1(0),...,хп(0)), оскільки в просторі Rn покоординатна збіжність еквівалентна збіжності в метриці цього простору. Повнота простору Rn доведена.

Розглянемо простір l2

Візьмемо довільну фундаментальну послідовність { x(n) } елементів простору l2. х(п)=(х1(п), х2(п),...,хі(п),...) . Як це було зроблено вище, встановлюємо, що при кожному і, послідовність { xi(n) } – фундаментальна, а значить – збіжна.

Нехай . Покажемо, що послідовність х(0)=(х1(0)2(0),..,хі(0),..) є елементом простору l2 і .

Візьмемо e > 0. Тоді існує натуральне число N таке, що при всіх п³N i m³N виконується нерівність або те саме

(1.1)

З цієї нерівності слідує, що при кожному фіксованому натуральному р

(1.2)

Якщо ми п зафіксуємо, а т спрямуємо до нескінченності, то одержимо:

.

Оскільки ця нерівність вірна при будь-якому натуральному р, то перейшовши до границі, коли р прямує до нескінченності, одержимо:

(1.3)

Звідси виливає, що послідовність (х1(п)1(0), х2(п)2(0),...,хі(п)і(0),...l2. З рівності хі(0)і(п)-(хі(п)і(0)) і з того, що l2 є лінійною системою, робимо висновок, що х(0)=(х1(0),...,хі(0),...)Îl2. З нерівності (1.3), яка вірна при будь-якому n³N робимо висновок, що . Повнота простору l2 доведена.

Розглянемо простір С [ a;b ]

Нехай { xn } – фундаментальна послідовність елементів простору С [ a;b ]. Візьмемо e > 0. Тоді існує натуральне число N таке, що при п³N i m³N виконується нерівність: або , а це означає, що при будь-якому t виконується нерівність: при п³N i m³N.

З критерію Коші рівномірної збіжності робимо висновок, що дана послідовність функцій збігається рівномірно до х0 на сегменті [ a;b ]. Оскільки всі хп неперервні на [ a;b ], то х0 теж неперервна на даному сегменті. Тобто х0ÎС[a;b]. Оскільки збіжність { xn } в просторі С [ a;b ] еквівалентна рівномірній збіжності цієї послідовності, то робимо висновок, що . Повнота С[a;b] доведена.

Нехай маємо лінійний нормований простір.

Лінійний нормований простір, називається простором Банаха (або банаховим простором), якщо він є повним простором в метриці породженій нормою. Наведені вище приклади є прикладами банахових просторів. Серед банахових просторів особливе місце займають гільбертові простори.

Означення. Нескінченно вимірна лінійна система, на якій введено скалярний добуток, називається простором Гільберта (або гільбертовим простором), якщо вона є повним метричним простором в метриці породженій скалярним добутком.

Простір l2 є простором Гільберта.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-24; Просмотров: 1696; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.016 сек.