Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності

Очевидно є проблема перенесення означення похідної функції однієї змінної на похідну функції багатьох змінних. І ця проблема полягає в тому, що кожна із змінних має свій приріст.

В зв’язку з цим, перенести означення похідної можна, якщо приріст надавати не всім змінним, а тільки одній із них. В результаті ми одержимо аналог похідної, який будемо називати частковою похідною від функції багатьох змінних, як було в одномірному аналізі.

Означення 1.1. Величину , називають частковим приростом функціі по змінній х_і, де D х_і¹0, в точці х⁽⁰⁾.

Означення 1.2. Якщо існує границя , то її називають частинною похідною функції U(x) в точці х⁽⁰⁾ і позначають: , або .

Означення 1.3. Функція U=f(x), називається диференційовною в точці х⁽⁰⁾, якщо повний приріст цієї функції в цій точці можна зобразити у вигдяді , (1.1),

де А_і – незалежні від величини, a_і є функціями від , які прямують до нуля, коли .

Означення 1.4. Якщо функція диференційовна в точці х₀,то вираз називається диференціалом функції в даній точці і позначається ,

.

Як ми бачимо, диференціал це є лінійна відносно частина приросту функції. З рівності (1.1) слідує, що якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці.

Теорема 1.1. Якщо функція диференційовна в точці, то існують усі часткові похідні в цій точці.

Якщо рівність (1.1) справедлива для будь-якого приросту х ⁽⁰⁾, то вона справедлива, коли , а решта . Тоді , поділимо обидві частини на . Після переходу до границі, одержимо: .

Обернене твердження взагалі невірне.

Розглянемо функцію

В точці (0;0) існують часткові похідні.

;

Дата добавления: 2015-05-24