Дулем, протилежні за напрямом і діють вздовж прямої, що з'єднує ці 2 страница

Вектор середньої швидкості < V > за проміжок часу Δt - це фізична

величина, що дорівнює відношенню вектора переміщення точки Δг до

тривалості проміжку часу Δt:

У процесі руху може змінитися не тільки модуль швидкості, а й напрям

Руху, тобто напрям швидкості. Для характеристики зміни швидкості в

часі вводять ще одну характеристику руху - прискорення.

Прискорення (а) - векторна величина, що характеризує зміну швидко-

і ті руху матеріальної точки за модулем і напрямом.

Прискорення а - векторно величина, що дорівнює першій похідній за

часом від швидкості розглядуваної матеріальної точки:

Тема1. 2. Тангенціальне (дотичне) й нормальне прискорення. Найпростіші випадки кінематики матеріальної точки й поступального руху твердого тіла: прямолінійний рух (рівномірне й рівноприскорене); рух точки по колу. інтеграл у додатку до фізичних завдань. Модель абсолютно твердого тіла. Обертовий рух абсолютно твердого тіла. Вектор кутового переміщення й вектор кутової швидкості. Зв'язок між кутовий й лінійної швидкостями точок обертового твердого тіла. Векторний добуток (векторів). Кутове прискорення. Найпростіші випадки кінематики обертового руху.

Прискорення а - векторно величина, що дорівнює першій похідній за

часом від швидкості розглядуваної матеріальної точки:

Прискорення а має дві взаємно перпендикулярні складові: а_τ - танген-

ціальне або дотичне прискорення, а_n - нормальне або доцентрове при-

скорення.

Тангенціальне прискорення а_τ напрямлене вздовж дотичної до траєк-

торії руху, визначає швидкість змінення модуля швидкості, Модуль

тангенціального прискорення дорівнює похідній за часом від модуля

швидкості:

Нормальне прискорення а_n характеризує змінення швидкості за на-

прямом і напрямлене за нормаллю до траєкторії до центру її кривини.

Модуль нормального прискорення залежить від швидкості точки і ра-

діуса К кривини траєкторії:

Тангенціальне і нормальне прискорення

У загальному випадку під час криволінійного руху вектор

прискорення а напрямлений всередину траєкторії під деяким кутом від-

носно неї. Розкладемо за правилом паралелограма вектор а на

дві складові. Одна складова (а_τ) буде напрямлена вздовж дотичної до

траєкторії руху матеріальної точки, а інша (а_n) - вздовж нормалі до траєк-

торії, тобто перпендикулярно до дотичної в даній точці траєкторії.

Складова а_n вектора прискорення а, напрямлена вздовж нормалі до

траєкторії в даній точці, називається нормальним прискоренням. Нор-

зує зміну вектора швидкості за модулем.

При прямолінійному русі швидкість тіла змінюється тільки за модулем, тобто а_n = 0, тому а = а_τ. Визначимо напрям прискорення стартую-

чого гоночного автомобіля на прямолінійній ділянці траєкторії

а_τ. а_τ.

v₀ v₀

Швидкість v більша за v₀, тобто автомобіль рухається прискорено. Тому

вектор зміни швидкості Δv = v - v₀ напрямлений вздовж напряму руху,

отже, і вектор прискорення а = а_τ напрямлений вздовж напряму руху

(напряму швидкості). Вектори швидкості й прискорення - колінеарні У разі

прямолінійного прискореного руху вектор швидкості V і вектор приско-

рення а мають однаковий напрям (рівнонапрямлені вектори).

Нормальне прискорення характеризує зміну вектора швидкості за напрямом у разі криволінійного руху. Складова а_τ вектора прискорення а,

напрямлена вздовж дотичної до траєк- торії в даній точці, називається тангенціальним або дотичним прискоренням.

Тангенціальне прискорення характери- зує зміну вектора швидкості за модулем.При прямолінійному русі швидкість тіла змінюється тільки за моду-

лем, тобто ая = 0, тому а = а х. Визначимо напрям прискорення стартую-

чого гоночного автомобіля на прямолінійній ділянці траєкторії (рис. 1.23).

Швидкість у більша за у0, тобто автомобіль рухається прискорено. Тому

вектор зміни швидкості Ду = у - у0 напрямлений вздовж напряму руху,

отже, і вектор прискорення а = ат напрямлений вздовж напряму руху

(напряму швидкості)*.

Визначимо напрям прискорення автомобіля під час гальмування на

прямолінійній ділянці шляху (рис. 1.24). Швидкість у менша за у0,

тобто автомобіль рухається сповільнено, тому вектор зміни швидкості

ДУ = У-У0 напрямлений протилежно напряму руху, отже і вектор при-

скорення а - а т напрямлений протилежно напряму руху (напряму швид-

кості).

Таким чином, вектори швидкості й прискорення - колінеарні У разі

прямолінійного прискореного руху вектор швидкості V і вектор приско-

рення а мають однаковий напрям (рівнонапрямлені вектори).

Способи задання руху твердого тіла залежать від форми його руху. Найпростішими є поступальний і обертальний рухи твердого тіла.

Поступальний - це такий рух твердого тіла, коли пряма, що з'єднує

дві будь-які точки тіла, переміщується, залишаючись паралельною своє-

му початковому положенню (рис. 1.5).

У разі поступального руху твердого тіла всі точки тіла описують одна-

кові траєкторії. Його рух задається й вивчається так само, як і рух однієї

ТОЧКИ. Поступально рухаються ящики письмового стола, вагони метро -

слектропотяги, кабіни "колеса огляду".

Обертальний рух навколо нерухомої осі - це такий рух твердого тіла,

коли всі його точки описують кола, центри яких лежать на одній прямій -

осі обертання, що перпендикулярна до площин цих кіл.

Закон рівномірного прямолінійного руху

У разі прямолінійного руху траєкторією руху є пряма лінія.

Рівномірний прямолінійний рух- такий рух, коли тіло рухається вздовж однієї зосей координат.

Якщо рух прямолінійний, то модуль вектора переміщення дорівнює

шляху.

Вектор швидкості тіла, що рухається прямолінійно, не змінюється за

напрямом, а модуль вектора швидкості з плином часу може як змінюва-

ти, так і лишатися сталим. Якщо модуль швидкості тіла в часі зміню-

нерівномірним або змінним.

Рівномірний - це рух, коли тіло переміщується зі сталою за модулем

швидкістю V = сопst.

х=х₀+vt

()диниця швидкості - метр на секунду (м/с).

Рівноприскорений прямолінійний рух

Рівнозмінний рух - це рух, коли прискорення лишається сталим і за

модулем, і за напрямом:

а = сопst.

У разі рівнозмінного руху середнє прискорення < а > дорівнює миттєвому прискоренню а, тобто <а>=а. Напрямлено прискорення а вздовж

траєкторії руху матеріальної точки. Нормальне прискорення дорівнює

нулю: а_n=0. Рівнозмінний рух може бути або рівноприскореним, або

рінносповільненим.

Рівноприскорений прямолінійний рух - це рух, коли прискорення є ста-

лим за модулем і напрямом, а вектори швидкості та прискорення є рів-

нонапрямленими:

а = сопst.

Одиниця прискорення - метр за секунду в квадраті (м/с²).

Метр за секунду в квадраті дорівнює прискоренню тіла, що рухається

прямолінійно і прискорено, коли за час 1 с швидкість точки змінюється

на 1м/с.

v=v₀+ а t х=х0+ v₀t+ 0,5а t ²

У разі рівноприскореного прямолінійного руху залежність швидкості

руху матеріальної точки від часу є лінійною.

Швидкість тіла, що рухається рівноприскорено прямолінійно, зростає

в часі.

Рух колом як періодичний рух

Рух колом є найпростішим прикладом періодичного руху.

Періодичний рух - це рух, який повторюється через певний проміжок

часу. Наприклад, обертання Землі навколо власної осі, обертання Землі

навколо Сонця. Характеристикою періодичного руху є період.

Період Т - мінімальний проміжок часу\ через який рух повторюється,

тобто час одного оберту.

Одиниця періоду - секунда (с).

Знаючи період обертання, можна визначити частоту обертання.

Частота обертання ν - величина, що показує число обертів в одини-

цю часу:

ν=N/t

Одиниця частоти - секунда в мінус першому степені (с-1).

Одна с^-1 дорівнює частоті рівномірного обертання, з якою за час 1 с

тїло здійснює один повний оберт.

Період обертання Землі навколо власної осі - одна доба, тобто 24 години;

Т = 1 доба = 8,64 • 1О⁴ с

Швидкість руху тіла колом називають лінійною швидкістю.

Радіус кола, яким рухається тіло, є величиною сталою: t = сопзі. Про-

ведемо координатну вісь Xчерез центр кола О. Центр кола О -

початок координат. Положення точки А на колі в будь-який момент часу

точно визначається кутом φ між додатним напрямом осі X і радіусом-

вектором г, проведеним з початку координат до рухомої точки. Кут φ від-

лічується від додатного напряму осі Хдо радіуса-вектора г проти годиннико-

вої стрілки. Кути виражають у радіанах. Кут 360° відповідає 2π радіан.

Лінійний шлях Δs дорівнює добутку модуля радіуса-вектора | г і точки

на його кут повороту.

Рівномірний рух колом — це такий рух, коли точка рухається

із сталою за модулем лінійною швидкістю:

Рівномірний рух

У разі рівномірного руху колом за однакові проміжки часу:

• точка проходить однакові за довжиною дуги кола;

• радіус-вектор точки повертає на однакові кути.

Напрям і швидкість повороту радіуса-вектора рухомої колом точки

характеризує кутова швидкість.

Кутова швидкість ω- векторна величина, що дорівнює відношенню

повороту радіуса-вектора Δφ до проміжку часу Δt, за який цей

поворот відбувся.

()диниця кутової швидкості - радіан на секунду (рад/с).

Радіан на секунду дорівнює кутовій швидкості рівномірно обертової

і очки, радіус-вектор якої за час 1 с повертається на кут 1 рад.

Модуль кутової швидкості можна виразити через період обертання Т.

Миттєва кутова швидкість ω - фізична величина, модуль якої дорів-

нює границі, до якої прямує модуль середньої кутової швидкості при на-

шиженні проміжку часу до нуля.

Миттєву кутову швидкість називають просто кутовою швидкістю.

Модуль кутової швидкості дорівнює похідній від кута повороту радіуса-

ш'ктора обертової точки за часом.

Між модулем ЛІНІЙНОЇ ШВИДКОСТІ V точки, що обертається колом, і мо-

дулем ЇЇ кутової швидкості о) існує зв'язок.

Модуль лінійної швидкості точки, що рухається колом, дорівнює добутку модуля кутової швидкості на радіус кола. З формули випли-

нає, що чим більшим є радіус кола, тим більша лінійна швидкість. Лінійна

швидкість обертання Землі навколо власної осі є максимальною в точках

екватора, а мінімальною (нульовою) - на полюсах.

Доцентрове прискорення

У разі рівномірного обертання модуль лінійної швидкості -

стала величина, отже, тангенціальне або дотичне прискорення дорів-

нює нулю: а_τ =0. Змінення вектора швидкості V за напрямом характери-

зує нормальне або доцентрове прискорення.

Миттєва кутова швидкість со - фізична величина, модуль якої дорів-

нює границі, до якої прямує модуль середньої кутової швидкості при на-

шиженні проміжку часу до нуля:

Миттєву кутову швидкість називають просто кутовою швидкістю.

Модуль кутової швидкості дорівнює похідній від кута повороту радіуса-

ш'ктора обертової точки за часом.

Кутове прискорення

Кутове прискорення (ε) - векторна величина, що характеризує швидкість змінення кутової швидкості.

У разі рівномірного обертання ω = соnst, тобто кутова швидкість не

змінюється, тому ε = 0.

У разі нерівномірного обертального руху матеріальної точки кутова

швидкість її ω у часі змінюється.

Середнє кутове прискорення <ε> - фізична величина, яка дорівнює

відношенню зміни кутової швидкості до тривалості проміжку часу, протягом якого ця зміна відбулася.

Миттєве кутове прискорення ε - фізична величина, що дорівнює гра-

ниці, до якої прямує середнє кутове прискорення < ε > при наближенні

проміжку часу Δt до нуля.

Кутове прискорення ε- векторна величина, яка дорівнює першій похідній кутової швидкості за часом. Отже, кутове прискорення -- це швидкість

змінення кутової швидкості.

Якщо в обертальному русі тіла ε= соnst, то такий рух називають рів-

нозмінним обертанням..

Якщо ε>0, кутова швидкість зростає - рух рівноприскорений (рис. а).

Якщо ε< 0, кутова швидкість зменшується - рух рівносповільнений (рис. б).

Коли тіло обертається навколо нерухомої точки, напрям вектора со

збірігається. Вектор ε збігається за напрямом з вектором со у разі приско-

реного обертання (ε > 0) і протилежний йому за напрямом у разі сповіль-

неного обертання (ε< 0) (див. рис. а, б).

Одиниця кутового прискорення - радіан на секунду в квадраті (рад/с²).

Радіан на секунду в квадраті дорівнює кутовому прискоренню рівно-

прискорено обертової матеріальної точки, при якому за час 1 с кутова

швидкість точки змінюється на 1 рад/с.

Із зміною кутової швидкості змінюється і її лінійна швидкість. Зміна

лінійної швидкості за напрямом характеризує нормальне прискорення,

яке залежить від кутової швидкості і не залежить від кутового прискорення.

Зміна величини лінійної швидкості характеризує тангенціальне прискорення.

При рівноприскореному обертанні кутова швидкість у довільний момент часу визначається за формулою

Змістовий модуль 2

Динаміка - розділ механіки, присвячений вивченню руху матеріальних тіл під дією прикладених до них сил.

У динаміці розглядаються два типи задач.

• Задачі першого типу полягають у тому, щоб, знаючи закони руху і, визначити діючі, на нього сили. Класичним прикладом розв'язання такої задачі стало відкриття Ньютоном закону Всесвітнього тяготіння.

• Задачі другого типу в динаміці є основними і полягають в тому,

щоб, знаючи початкове положення і початкову швидкість тіла, за діючи-

ми на тіло силами визначити закон його руху.

Перший закон Ньютона - закон інерції.

Спостереження за рухом тіл і розмірковування про характер цих рухів дозволили І. Ньютону сформулювати знамениті закони руху, які він виклав у праці "Математичні початки натуральної філософії" (книжку було видано в 1687 р.).

В основі праці "Математичні початки", як і в праці Евкліда "Початки",

лежать декілька аксіом, що не потребують доведення, - законів (основних

положень), які являють собою узагальнення багатовікового досвіду, підсумки всьому зробленому за попередні тисячоліття в ученні про найпростіші форми руху матерії.

Перший закон Ньютона говорить:

будь-яка матеріальна точка (тіло) зберігає стан спокою або рівномір-

ного прямолінійного руху до того часу, поки зовнішні діяння з боку інших

тіл не змінять цього стану.

Перший закон Ньютона виконується в системах відліку, котрі називаються "інерціальні", і встановлює факт існування інерціальних систем відліку.

Інерціальні - це системи відліку, в яких вільне тіло рухається прямолінійно і рівномірно.

Для опису механічних рухів на Землі інерціальну систему відліку

зв'язують із Землею (геоцентрична система відліку).

Питання про те, чи є вибрана система відліку інерціальною, вирішу-

ється експериментально. Якщо в межах точності вимірювань у даній сис-

темі відліку перший закон Ньютона виконується, то вона може вважатися

інерціальною.

Рівномірний і прямолінійний рух вільного тіла в інерціальній системі

відліку називають рухом за інерцією. Рухаючись за інерцією, вільне тіло

не змінює швидкість ні за модулем, ні за напрямом.

Маса - міра інертності

Всі тіла володіють інертністю.

Інертність - це властивість тіла зберігати стан спокою або стан

прямолінійного рівномірного руху, коли діючі на нього сили відсутні або

взаємно зрівноважені.

Внаслідок інертності тіла зберігають свою швидкість за відсутності

взаємодії з іншими тілами.

Припустимо, на колії стоять два однакових вагони. Один із них порожній, інший - навантажений. Який з вагонів "легше" вивести зі стану

спокою, тобто змінити його швидкість? Зрозуміло, порожній.

Порожній і навантажений вагони рухаються з однаковою швидкістю. Який

з цих вагонів "важче" зупинити, тобто змінити його швидкість? Зрозуміло,

навантажений. Отже, інертність навантаженого вагона більша за інертність

порожнього, тому що маса навантаженого вагона більша за масу порожнього.

Маса - це фізична величина, яка є мірою інертності тіла при його

поступальному русі.

Маса - величина скалярна. Одиниця маси - кілограм (кг).

Центр мас

Для поступального руху тіла зручно ввести таке поняття, як

центр мас або центр інерції.

Центр мас - це точка, в якій може вважатися зосередженою маса

тіла при його поступальному русі.

Точки тіла, що рухається поступально, мають однакову швидкість і

описують паралельні одна одній траєкторії. Тому можна розглядати по-

ступальний рух не всього тіла, а однієї точки - його центра мас, тобто

матеріальної точки, в якій наче зосереджена вся маса тіла.

Очевидно, що центр мас однорідних симетричних тіл збігається з

центром симетрії О (рис. а). Центр мас однорідної кулі збігається з її

центром. Центр мас однорідного стрижня знаходиться в його середині.

а

Центр мас тіла може знаходитися й поза тілом (наприклад, центр мас

однорідного обода чи кільця, рис. б).

Другий закон Ньютона говорить: прискорення тіла в інєрціальній системі відліку прямо пропорційне діючій на тіло силі та обернено пропорційне масі тіла:

Якщо на тіло діє кілька сил, то за формулою закона Ньютона під

силою Р слід розуміти рівнодійну всіх цих сил. Такий висновок випливає

і принципу незалежності дії сил.

В окремому випадку, коли всі сили, що діють на тіло, напрямлені

вздовж однієї прямої, їх рівнодійна, а отже, й прискорення напрямлені

вздовж тієї ж самої прямої, і тому рівняння основного закону механіки

можна записати в скалярній формі:

Р = та,

де рівнодійна сила Р є алгебричною сумою всіх сил, які діють на тіло. Якщо рівнодійна всіх сил, діючих на тіло, дорівнює нулю (Р = 0), то

прискорення тіла дорівнює нулю (а = 0), тобто швидкість руху тіла є ста-

лою: V = сопst - рух прямолінійний і рівномірний.

Поняття "сила" завжди стосується двох тіл, Сила виникає,

коли взаємодіють два тіла. В процесі взаємодії матеріальні точки або тіла

є рівноправними. На рівність сил при взаємодії тіл указував ще голландський фізик X. Гюйгенс. Цього висновку він дійшов, вивчаючи зіткнення тіл.

Рівноправність взаємодіючих матеріальних точок або тіл відбиває тре-

тій закон Ньютона.

Ньютон сформулював цей закон так: "Будь-якій дії завжди перешко-

джає рівна і протилежна протидія" (рис.). В наш час третій закон

Ньютона гласить:

сили взаємодії двох тіл в інерціальиій системі відліку рівні за мо-

тіла:

Р₁₂=-Р₂₁.

Застосування третього закону Ньютона

Розглянемо взаємодію двох тіл (А і В), Наприклад, людинаюячи в човні, підтягає інший човен за допомогою мотузки (рис) її ідно з третім законом Ньютона

Імпульс тіла р - векторна величина, яка дорівнює добуткові маси тіла

на швидкість його руху

р = т v.

Напрям вектора р завжди збігається з напрямом вектора V.

Одиниця імпульсу - кілограм-метр на секунду (кг • м/с).

Тема 2.3 Робота сили. Робота змінної сили. Потужність. Скалярний добуток векторів. Кінетична енергія матеріальної точки й механічної системи. Потенціальне поля. Консервативні й неконсервативні сили. Циркуляція вектора сили. Поняття про градієнт скалярної функції координат. Зв'язок між консервативною силою й потенційної енергією. Закон збереження моменту імпульсу щодо точки. Кінетична енергія обертового твердого тіла. Робота зовнішніх сил при обертовому русі. Закон збереження повної механічної енергії.

Дата добавления: 2015-05-24