Інтегрування раціональних функцій. Рекурентна формула

Інтегрування елементарних раціональних дробів другого типу

Інтегрування елементарних раціональних дробів першого типу

Якщо k = 1, то

Якщо k > 1, то

Зобразимо інтеграл у вигляді суми двох інтегралів так, щоб чисельник підінтегральної функції у першому інтегралі дорівнював похідній знаменника:

Перший інтеграл у правій частині може бути обчислений за допомогою заміни

t = x² + px + q, а другий інтеграл обчислюємо так: якщо k > 1, то використовуємо рекурентну формулу (для спрощення викладок опустимо цей випадок), якщо k = 1, то виділимо повний квадрат

Роблячи заміну одержимо простий інтеграл

6. Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування елементарних дробів типу II 2)

I_k= I_{k-1 (1)}

Інтеграл I_k виражено через I_k-1 Формули виду (1)називаються рекурентними.

Для обчислення I_k при будь-якому k немає потреби виконувати інтегрування: знаючи значення I₁, з виразу I₁=∫ =arctgx+С за формулою (1) знаходимо послідовно I_2….I_k-1,I_k.

Знайти ∫ .

∫ =|k=2|= arctgx+С

Зводячи разом обчислені інтеграли, остаточно дістаємо рекурентну формулу для обчислення інтеграла

∫ dx= + I_k-1

_де I_k-1= ∫ .

8.Інтегрування раціональних функцій. Теорема про розклад правильного раціонального дробу на суму елементарних. Приклади

(сонечко моє Збільшиш собі шоб було тобі добре видно)

9.інтегрування ірраціональних функцій. Інтеграли вигляду

10.інтегрування ірраціональних функцій. Інтеграл виду…

11 інтегрування ірраціональних функцій. Інтеграл виду…

12.Інтегрування тригонометричних функцій. Універсальна підстановка. Приклад.

13.Інтегрування тригонометричних функцій. Приклад

1°. Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

2°. Интегралы вида

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

. Если m = -m, n = -l - целые отрицательные числа одинаковой четности, то

В частности, к этому случаю сводятся интегралы

Примеры.

4°. Интегралы вида

где R - рациональная функция от sinx и cosx, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки

при этом

Если R{-sin x, cosx) = R(sinx, cosx), то целесообразно применить подстановку tgx = t. при этом

Примеры.

Здесь подынтегральная функция является рациональной функцией от sinx и cosx. Применяем подстановку


Подынтегральная функция не меняется от замены sinx на (-sinx), cosx на (-cosx), то есть R(-sinx,cosx) = R(sinx,cosx). Применим подстановку tgx = t:

14.Інтегрування тригонометричних та трансцендентних функцій. Приклади

15.Задачі,які приводять до поняття визначеного інтеграла. Інтеграл у шкільному курсі математики.

0 k n-1(це оце знизу що не захватила камера)

16.Інтегровність за Ріманом і визначений інтеграл. Необхідна мова інтегрованості

17.Суми Дарбу та їх властивості. Критерії інтегрованості за Ріманом

18.Інтегровність неперервної, кусково-неперервної і монотонної функцій. Геометричний зміст визначеного інтеграла

19.Основні властивості визначеного інтеграла

20.Інтеграл із зміною верхньою межею інтегрування…

21.Формули обчислення визначених інтегралів…

22.Поняття невласного інтеграла з нескінченими межами інтегрування

23.Поняття невласного інтеграла від необмеженої функції

24.Ознаки збіжності невласних інтегралів

25.Обчислення площ у декартових і полярних координатах

26.Поняття тіла обертання та його об*єму…

27.Обчислення довжини дуги кусково-гладкої кривої…

28.

29.

30.Числові ряди.поняття числового ряду..

31.Числові ряди.найпростіші властивості збіжних рядів

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43)

44.

45.

46.

47.

48.

49,

50.

51та 52

53.

54.

55.

56.

57

58.

59.

Дата добавления: 2015-05-24