Навести приклади

2. Сформулювати і записати означення необмеженої, обмеженої зверху (знизу) множини.

!Границя

1. Записати і довести нерівності, які використовують для знаходження правосторонньої границі функції в точці 0.

2. Які теореми використовуються для знаходження границі функції в точці 0? Сформулювати ці теореми.

!Границя .

1. Яку нерівність використовують для знаходження границі функції при ?

2. Які теореми використовуються для знаходження границі функції при ?

3. Границя якої послідовності використовується для знаходження границі функції при ?

4. Яку заміну використовують для знаходження границі функції при ?

5. Яке означення використовують для знаходження границі ?

Нескінченно малі функції і їх порівняння. Теорема про заміну нескінченно малих при знаходженні границь.

1. Сформулювати і записати означення нескінченно малої функції, порівняння нескінченно малих функцій.

2. Навести приклад двох нескінченно малих функцій однакового порядку, еквівалентних нескінченно малих, нескінченно

малої вищого порядку, нескінченно малих, які не можна порівняти.

2а. Довести, що не існує.

2_б. Сформулювати і записати означення Гейне границі функції.

3! Сформулювати і записати означення нескінченно великої функції при х®а, , х®+¥, х®-¥.

4. Довести теорему про співвідношення між нескінченно великими і нескінченно малими функціями.

4а. Які означення і теорема використовуються при доведенні?

5. Навести приклад нескінченно малої функції , для якої функція не є нескінченно великою.

6. Сформулювати, записати і довести теорему про заміну нескінченно малих при знаходженні границь.

Границі монотонних функцій. Теореми про границі монотонних функцій.

1. Сформулювати і записати означення монотонних функцій.

2. Сформулювати і записати означення необмежених зверху (знизу) функцій, навести відповідні приклади.

3. Сформулювати, записати і довести теорему про границі неспадних функцій.

а. Скільки випадків розглядається при доведенні? б. Які означення і теорема використовуються при доведенні?

в. Сформулювати і записати означення точної верхньої (нижньої) межі множини.

г. Записати означення для , .

4. Сформулювати, записати і довести теорему про границю незростаючої функції.

а. Яку теорему і рівності використовують для доведення цієї теореми?

Неперервні і рівномірно неперервні функції.

Різні означення неперервності функцій і їх рівносильність.

1. Сформулювати і записати означення неперервності функції в точці, ізольованої точки множини.

а) Чим відрізняються означення неперервності функції в точці від означення границі функції в цій точці?

2. Навести приклад функції, яка має границю в точці, але не є неперервною в цій точці.

3. Сформулювати і записати означення Коші і Гейне неперервності функції в точці.

3а. Сформулювати і записати, використовуючи означення Коші, що функція не є неперервною в точці.

3 _б. Чому означення Коші рівносильне означенню Гейне?

4. Навести приклад функції, яка неперервна в точці, але не має границі в цій точці.

5. Сформулювати, записати і довести теорему про неперервність суми, різниці добутку і частки функцій.

6. Сформулювати, записати і довести наслідок про знаходення границі

а) Яка теорема і еквівалентні нескінченно малі використовується при доведенні?

7. Сформулювати, записати і довести наслідок про знаходення границі

а) Який наслідок і означення використовуються при доведенні?

!Класифікація точок розриву. Теореми про точки розриву монотонних функцій.

1. Сформулювати і записати означення неперервності функції в точці зліва (справа). Навести приклади.

2. Сформулювати, записати і довести критерій неперервності функції в точці.

а) Яка теорема використовується при доведенні?

3. Сформулювати і записати означення точок розриву І^го і ІІ^го роду.

4. Навести приклад функції, точки розриву якої не є точками розриву І^го і ІІ^го роду.

5. Навести приклад функції, яка не є неперервною ні зліва, ні справа в даній точці.

6. Навести приклад функції, яка має нескінченне число точок розриву ІІ^го роду.

7. Яке означення використовується для доведення, що функція не має границі в точці ?

8. Сформулювати, записати і довести теорему про характер точок розриву монотонної на сегменті

функції? а. Чи може монотонна на сегменті функція мати точки розриву ІІ^го роду?

_б. Яка теорема використовується при доведенні теореми про характер точок розриву монотонної на сегменті

функції? в. Які означення використовуються при доведенні цієї теореми?

9. Сформулювати і записати означення проміжку.

10. Сформулювати, записати і довести наслідок про характер точок розриву монотонної на проміжку функції.

а. Яка теорема і означення використовується при доведенні?

Теорема про неперервність складної функції.

1. Сформулювати і записати означення складної функції. Навести приклади.

2. Сформулювати, записати і довести теорему про неперервність складної функції.

3. Яке означення неперервності функції використовується при доведенні цієї теореми?

4. Навести приклад неперервної складної функції.

Властивості неперервних функцій, заданих на сегменті.

1. Сформулювати, записати і довести теорему₁ Больцано–Коші.

а. Яке означення неперервності і теореми використовуються при доведенні цієї теореми?

3. Сформулювати, записати і довести теорему 2 Больцано­–Коші.

3а. Яку функцію і теореми використовують при доведенні цієї теореми?

4. Сформулювати, записати і довести теорему 1 Вейєрштраса.

4а. Яким методом доводиться ця теорема? 4б. Яке означення використовується при доведенні цієї теореми?

4в. Яка теорема і наслідок використовується при доведенні?

5. Сформулювати, записати і довести теорему 2 Вейєрштраса.

5а. Яке означення і теореми використовуються при доведенні цієї теореми?

6. Чи кожна функція, неперервна на інтервалі, приймає в деяких точках цього інтервалу найбільше і найменше

значення?

7. Сформулювати, записати і довести наслідок про область значень неперервної на сегменті функції.

7а. Які теореми використовуються при доведенні цього наслідку?

8. Сформулювати, записати і довести теорему про неперервність оберненої функції.

8а. Яке твердження використовується при доведенні цієї теореми?

8б. Яким методом доводиться існування і монотонність оберненої функції?

8в. Скільки випадків розглядається при доведенні неперервності оберненої функції і яке означення використовується?

8в. Якими є образи точок розриву функції для оберненої функції і за допомогою якої теореми і означення це

встановлюється?

9. Сформулювати і записати наслідки про неперервність оберненої функції.

10. На яких проміжках і чому повинні бути означені функції , , , , щоб для них

існували обернені функції? 10а. Накреслити графіки цих обернених функцій.

11. Сформулювати і записати означення оберненої функції.

Рівномірна неперервність функції на множині. Теорема Кантора.

1. Сформулювати і записати означення рівномірно неперервної функції на множині і нерівномірно неперервної.

2. Навести приклад рівномірно неперервної функції на множині, яка не є неперервною на цій множині.

3. Навести приклад функції, яка не є рівномірно неперервною на множині R.

4. Сформулювати і записати теорему Кантора про рівномірну неперервність.

4а. Яким методом доводиться ця теорема? 4б. Які теореми використовуються при доведенні цієї теореми?

4в. Які означення використовуються при доведенні цієї теореми?

5. Чи буде функція, неперервна на об’єднанні двох сегментів, рівномірно неперервною на цьому об’єднанні?

Похідні і диференціали першого порядку.

Означення похідної, її геометричний та механічний зміст. Рівняння дотичної і нормалі до кривої.

1. Сформулювати і записати задачи, які приводять до поняття похідної. Накреслити відповідні малюнки.

2. Сформулювати і записати означення похідноїної функції в точці, диференційовності функції в точці.

2_а). Чи може функція мати похідну в ізольованій точці області визначення?

3. Навести приклади функцій, які не мають похідної в даній точці.

4. Сформулювати геометричний, механічний зміст похідної.

5. Записати рівняння дотичної і нормалі до кривої в даній точці.

Зв’язок між неперервністю і диференційовністю функції.

1. Сформулювати, записати і довести необхідну умову диференційованості.

а). Навести приклад розривної в даній точці функції, яка є диференційованою в цій точці.

б). Яке означення і теорема використовуються при доведенні необхідної умови диференційованості.

3. Яка теорема використовується при доведенні, що функція

неперервна в точці ?

3а. Яке означення використовується при доведенні, що не існує?

Похідні деяких функцій.

1. Яка границя використовується для знаходження похідних від функцій і ?

2. Знайти похідну від функції за означенням.

3. Яка границя використовується для знаходження похідної від функції ?

Правила диференціювання.

1. Сформулювати, записати і довести теорему про похідну від суми, різниці, добутку і частки функцій.

а) Які теореми використовуються при виведенні правил диференціювання?

2. Яку рівність використовують при знаходженні похідної від функції ?

Теорема про похідну від оберненої функції і її геометричний зміст.

1. Сформулювати, записати і довеститеорему про похідну від оберненої функції.

а) Який наслідок використовується при доведенні цієї теореми?

2. Накреслити малюнок, який характеризує геометричний зміст цієї теореми.

2а. Якими є графіки функцій і ?

2_б). Сформулювати геометричний змісттеореми про похідну від оберненої функції.

3. Які рівності використовуються при знаходженні похідної від функції і ?

3а. Якою є область визначення функцій і ?

4. Які рівності використовуються при знаходженні похідних від функцій і ?

4а. В якому випадку з рівності випливає, що ?

5. Означення оберненої функції, приклади.

Теоремa про похідну від складної функції.

1. Сформулювати, записати і довести лему про приріст диференційовної функції.

2. Сформулювати, записати і довеститеорему про похідну від складної функції.

а. Яка лема, теорема і означення використовуються при доведенні теоремипро похідну від складної функції?

2. Яка рівність використовується при знаходженні похідної від степеневої і степеневопоказникової функції?

3. Довести якими є похідні від парної, непарної, –періодичної функцій?

4. Похідна від складної функції .

Гіперболічні функції, їх графіки і похідні.

1. Записати означення і накреслити графіки гіперболічних функцій. 2. Чому гіперболічні функції мають таку назву?

3. Записати і довести рівність для і .

4. Чи можуть графіки функцій і перетинатися, чому? 5. Знайти похідні від гіперболічних функцій.

!Похідна від функції, заданої параметрично.

1. Сформулювати і записати означення плоскої Жорданової кривої. Записати параметрично рівняння еліпса.

2. Сформулювати, записати і довести теорему про похідну від функції, заданої параметрично.

2а. Які теорема і наслідок використовуються при доведенні цієї теореми?

Основні теореми про функції, які мають похідні.

1. Сформулювати і записати означення точок локального максимуму (мінімуму) функції.

2. Сформулювати означення точок локального екстремуму функції.

3. Чи може точка бути одночасно точкою локального максимуму і мінімуму функції? Навести приклад.

4. Сформулювати, записати і довести теорему Ферма.

5. Яке твердження використовується при доведенні теореми Ферма?

6. Сформулювати, записати і довести теорему Ролля.

7. Які теореми використовуються при доведенні теореми Ролля?

8. Сформулювати геометричний зміст теореми Ролля. Накреслити малюнок.

9. Сформулювати, записати і довести теорему Коші.

10. Записати допоміжну функцію, яку використовують при доведенні теореми Коші.

11. Яка теорема використовується при доведенні теореми Коші?

12. Сформулювати, записати і довести теорему Лагранжа.

13. Яка теорема використовується при доведенні теореми Лагранжа?

14. Сформулювати геометричний зміст теореми Лагранжа. Накреслити малюнок.

15.Сформулювати, записати і довести наслідок до теореми Лагранжа. (Критерій сталості функції).

15а. Записати і довести тотожність, при доведенні якої можна використати критерій сталості функції.

Диференціал функції і його застосування до наближених обчислень.

1. Сформулювати означення диференціала функції в точці.

2. Чому рівний диференціал функції від незалежної змінної?

3. Яке твердження використовується для наближеної заміни приросту функції диференціалом.

Геометричний і механічний зміст диференціала. Правила диференціювання.

1. Сформулювати геометричний (механічний) зміст диференціала. Накреслити малюнок.

2. Сформулювати, записати і довести теорему про диференціал від суми, різниці, добутку і частки функцій.

а) Вивести формулу для диференціала частки двох функцій. б) Яке твердження використовується при доведенні?

Диференціал складної функції. Інваріантність форми диференціала І^го порядку.

1. Сформулювати означення інваріантності форми диференціала І^го порядку. 2. Означення складної функції, приклади.

!Умови монотонності функції і їх використання для доведення нерівностей.

1. Сформулювати, записати і довести критерій монотонності функції.

1а. Сформулювати теорему, яка використовується при доведенні необхідності.

1б. Сформулювати теорему, яка використовується при доведенні достатньості.

2. Довести, що при . Яка теорема використовується при доведенні?

Довести, що при .

3. Сформулювати, записати і довести достатню умову строгої монотонності функції.

3а. Яка теорема використовується при доведенні?

Умови існування локального екстремуму.

1. Сформулювати необхідні умови існування локального екстремуму.

1а. Навести приклади функцій, для яких ці умови не є достатніми.

2. Сформулювати і записати означення зміни знаку функції в точці .

2а. Навести приклади функцій, які змінюють знак в точці і не змінюють знак в точці .

2б. Чи може розривна функція в точці змінювати знак в цій точці? Навести приклад.

3. Сформулювати, записати і довести І правило дослідження функції на екстремуми.

3а. Яка теорема використовується при доведенні?

4. Навести приклад функції, для якої точка є точкою локального максімуму, але умови І^го правила дослідження функції на екстремум не виконуються.

Розкриття неозначеностей. Правила Лопіталя.

1. Сформулювати, записати і довести І правило Лопіталя при .

1а. Які теореми використовуються при доведенні?

2. Сформулювати, записати і довести І правило при . а. Яка заміна використовується при доведенні?

б. Які теореми використовуються при доведенні?

3!. Сформулювати, записати і довести ІІ правило Лопіталя. а. Скільки випадків розглядається при доведенні?

б. Які теореми використовуються при доведенні? в. Сформулювати теорему про границю проміжної функції.

4. Сформулювати і записати означення Гейне границі функції в точці.

5. Чи правильне твердження не існує, то і не існує? Навести приклад.

6. Яке означення використовується при доведенні, що не існує?

7. Як розкрити неозначеність виду , , , , ?

7а. Яку рівність використовують при розкритті неозначеностей виду , , ?

Асимптоти графіка функції.

1. Сформулювати і записати означення вертикальної, похилої асимптоти графіка функції.

2. Записати, що графік функції не має вертикальної асимптоти.

3. Навести приклад функції, графік якої не має вертикальної асимптоти.

4. Чи може неперервна на області визначення функція мати вертикальну асимптоту , де належить області визначення? 5. Записати як знаходяться коефіцієнти k і b похилої асимптоти.

6. Записати, в якому випадку графік функції не буде мати похилих асимптот.

7. Навести приклад функції, графік якої не має похилих асимптот.

8. Чи може мати похилі асимптоти функція, область визначення якої обмежена?

9. Чи може функція мати три похилих асимптоти?

Похідні вищих порядків.

!Похідні вищих порядків. Приклади. Формула Лейбніца.

1. Сформулювати означення похідної n^го порядку. 2. Чому рівна похідна n^го порядку від функцій , ?

3. Сформулювати, записати і довести формулу Лейбніца. 3а. Чому рівне число комбінацій із n по m?

3б. Які рівності використовуються при доведенні формули Лейбніца?

Диференціали вищих порядків.

1. Сформулювати означення диференціала n^го порядку. Навести приклад.

2. Чи співпадає форма запису диференціала n^го порядку від функції для незалежної і залежної змінної ?

Формула Тейлора для многочлена і функції.

Дата добавления: 2015-05-24