Правило Лопіталя. Похідні вищих порядків

Кажуть, що відношення двох функцій при є невизначеністю виду або , якщо або відповідно.

Розкрити ці невизначеності, тобто обчислити , надає можливість правило Лопіталя: якщо існує границя відношення похідних (скінченна або нескінченна), тоді існує і границя , причому справедлива формула:

= . (16)

Зауваження 1. Якщо похідні функцій і задовольняють тим самим вимогам, що і самі функції і при , тоді правило Лопіталя можна застосувати повторно.

Приклад 1. Обчислити .

.

Приклад 2. Обчислити .

.

Зауваження 2. Невизначеності виду для функції за допомогою тотожного перетворення можна привести до невизначеності . Остання невизначеність легко зводиться до невизначеності .

Приклад 3. Знайти .

Маємо невизначеність .

.

Приклад 4. Знайти .

Маємо невизначеність .

Функція називається похідною першого порядку функції . Похідна від похідної функції називається похідною другого порядку цієї функції: . Похідні, починаючи з другої, називаються похідними вищих порядків: . Отже, похідна п -го порядку є похідна від похідної (п - 1)-го порядку.

У механіці похідна другого порядку від функції , яка описує траєкторію руху матеріальної точки, має фізичний зміст, а саме визначає прискорення точки в момент часу : .

Дата добавления: 2015-05-24