Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. Невласні інтеграли. Ряд Фур’є




Якщо функція неперервна на , тоді вона інтегровна на ньому, тобто існує визначений інтеграл: , де числа і називаються нижньою і верхньою межею інтегрування функції відповідно. Відзначимо деякі основні властивості визначеного інтеграла, а саме:

(29)

Щоб обчислити визначений інтеграл, скористаємось основною формулою інтегрального числення (формула Ньютона-Лейбніца)

(30)

де – первісна функції .

Приклад 1. Обчислити інтеграл

Приклад 2. Обчислити інтеграл

Зробивши заміну в підінтегральному виразі, ми одразу змінили межі інтегрування: коли і при

Приклад 3. Обчислити площу фігури, яка обмежена графіками функцій і

Якщо фігура обмежена графіками неперервних функцій і то її площа може бути обрахована за формулою:

(31)

Знайдемо спочатку абсциси точок перетину цих функцій, які і будуть межами інтегрування: і За формулою (31) маємо:

.

Приклад 4. Визначити роботу, необхідну для запуску супутника масою т з поверхні Землі вертикально вверх на висоту .

Робота змінної сили по переміщенню тіла з початкової точки в кінцеву точку визначається за формулою:

(32)

Згідно із законом Ньютона, сила притягання супутника Землею визначається за формулою , де – гравітаційна стала, М – маса Землі, х – відстань від супутника до центра Землі: де – радіус Землі. За формулою (32) маємо:

Тут ми врахували той факт, що при сила притягання супутника Землею дорівнює його вазі, тобто: (прискорення вільного падіння біля поверхні Землі).

Нехай функція визначена, наприклад, на проміжку та інтегровна на будь-якому відрізку Тоді скінчену границю

(33)

називають невласним інтегралом першого роду.

Приклад 5. Обчислити інтеграл

Приклад 6. Обрахувати роботу, необхідну для виведення супутника в міжпланетний простір. Це означає, що (див. приклад 4). Отже,

Нехай функція визначена, наприклад, на проміжку Точку будемо називати особливою, якщо функція не обмежена в будь-якому її околі, але обмежена та інтегровна на відрізку . Тоді скінчену границю

(34)

називають невласним інтегралом другого роду.

Приклад 7. Обчислити інтеграл

Точка є особливою для підінтегральної функції. Згідно з формулою (34) маємо:

Окремо дослідимо поведінку інтеграла при :

(інтеграл розбігається).

Нехай функція визначена та інтегровна на . Тоді числа

(35)

при (п – цілі числа), (36)

(37)

називають коефіцієнтами Фур’є, а ряд

(38)

називається рядом Фур’є функції .

Якщо функція парна, тоді при її інтегруванні за симетричними межами справедлива формула:

(39)

Якщо функція непарна, тоді інтеграл від неї за симетричними межами тотожно дорівнює нулю.

Зауваження. Якщо функція парна, тоді коефіцієнти , а якщо непарна, тоді коефіцієнти .

Приклад 8. Розкласти в ряд Фур’є на функцію . Оскільки функція є парною тоді і

Отже, шуканий ряд Фур’є функції має такий вигляд:




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-24; Просмотров: 2883; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.