Прилади та обладнання. Пружинний маятник із шкалою відліку, лінійка, секундомір, тягарець

Пружинний маятник із шкалою відліку, лінійка, секундомір, тягарець.

7. Література.

1. Кучерук І.М., Горбачук І.Т., Луцик П.П. Загальний курс фізики. Київ, “Техніка”, 1999.-Т.1, §§10.2, 10.8.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. М. “Наука”, 1982.-Т1, §§50, 58.

Варіант 3

Вивчення вільних затухаючих коливань математичного маятника

1. Мета роботи.

Вивчити затухаючі коливання математичного маятника i визначити характеристики затухаючих коливань (період затухаючих коливань, логарифмічний декремент затухання, коефіцієнт затухання, час релаксації коливань).

2. Теоретичні відомості.

В реальних фізичних системах, які здійснюють вiльнi коливання, крім внутрішньої сили, яка повертає систему до положення рівноваги, завжди діють сили тертя та опору. Тому реальні вiльнi коливання відбуваються з поступовими втратами енергії коливань на роботу проти цих сил i створення коливань у навколишньому середовищі, i вони є затухаючими.

Розглянемо вiльнi затухаючі коливання математичного маятника. Математичним маятником називається матеріальна точка підвішена на невагомій i нерозтяжній нитці, що коливається у вертикальній площині під дією сили тяжіння. На практиці математичним маятником можна вважати металеву кульку масою m, підвішену на легкій нитці, довжина якої l значно більша за розміри кульки (рис. 1). Центр мас такої системи збігається з центром мас кульки.

При вiдхиленнi маятника від положення рівноваги виникає повертаюча до положення рівноваги сила F, яка є складовою сили тяжіння кульки i дорівнює:

,

де g – прискорення вільного падіння, α - кутове зміщення маятника відносно положення рівноваги.

При малих кутах (α ≤10º) , (1)

де х – лінійне зміщення кульки відносно положення рівноваги.

Тому повертаюча сила дорівнюватиме:

, (2)

де знак “ - “ вказує на те, що сила напрямлена в протилежну сторону до зміщення х.

Повертаюча сила F за природою не є пружною, але як і остання пропорційна зміщенню від положення рівноваги, тому вона називається квазіпружною.

Коефіцієнт називається коефіцієнтом квазіпружної сили.

Будемо вважати, що причиною затухання коливань є сила опору в’язкого середовища, яка у випадку невеликої швидкості руху тіла дорівнює:

, (3)

де r – коефіцієнт опору, який залежить від в’язкості середовища та форми тіла, а – швидкість тіла, що дорівнює:

Знак “ - ” в рівнянні (3) вказує на те, що сила опору повітря напрямлена у бік протилежний швидкості кульки.

Запишемо рівняння динаміки руху математичного маятника:

, (4)

де а – прискорення кульки, яке дорівнює:

Рис. 1.

Підставимо вираз для швидкості та прискорення в формулу (4) і отримаємо:

Поділимо останнє рівняння на m і введемо позначення:

(5)

Остаточно рівняння вільних затухаючих коливань математичного маятника матиме вигляд:

(6)

Розв’язком цього рівняння є функція:

(7)

Враховуючи те, що кутове зміщення α відповідно до формули (1) пропорційне лінійному зміщенню х, диференціальне рівняння вільних коливань та його розв’язок можна представити у вигляді:

(8)

,

де - амплітуда затухаючих коливань в довільний момент часу, амплітуда коливань в початковий момент часу, β – коефіцієнт затухання, визначається формулою (5), - циклічна частота затухаючих коливань

, (9)

де - власна частота коливань:

(10)

Як видно з рівняння затухаючих коливань, амплітуда коливань з часом зменшується, тому затухаючі коливання лише умовно можна вважати періодичними. Умовний період затухаючих коливань визначається за формулою:

(11)

Графік затухаючих коливань зображений на рис. 2.

Рис. 2.

Амплітуда затухаючих коливань зменшується за експоненціальним законом, але відношення амплітуд двох послідовних коливань є величиною сталою, тобто характеристикою коливань. Ця величина називається декрементом затухання, а її логарифм логарифмічним декрементом затухання:

(12)

Затухаючі коливання також характеризують часом релаксації τ. За цей час амплітуда коливань зменшується в е раз:

Звідки випливає, що:

(13)

Таким чином, частота, період, коефіцієнт затухання, час релаксації та логарифмiчннй декремент затухання є характеристиками затухаючих коливань.

3. Методика вимірювання.

Характеристики затухаючих коливань математичного маятника визначаються за вимірюваними значеннями амплітуди коливань в початковий момент часу та через час t, а також за кількістю коливань за цей час.

Період коливань маятника визначається за формулою:

(14)

Амплітуда коливань в момент часу t від початку коливань згідно формули (8) дорівнює:

З цієї формули отримаємо розрахункову формулу для коефіцієнта затухання:

(15)

З формули (13) час релаксації є величиною оберненою коефiцiєнту затухання. Тоді:

(16)

Підставимо вирази (15), (14) в формулу (12) і дістанемо розрахункову формулу для логарифмічного декремента затухання:

(17)

Дата добавления: 2015-05-24