Частный случай убывающих или постоянных предельных затрат

Рассмотренную модель динамического программирования можно использовать при любых функциях затрат. Важным частным случаем этой модели является такой, когда на этапе i как затраты на приобретение (производства), так и затрат на хранение на единицу продукции является постоянными или убывающими функциями x_i и x_i+1 соответственно. В таких условиях предельные затраты постоянны или убывают. Типичные примеры таких функций затрат приведены на рисунке 17. С математической точки зрения эти функции являются вогнутыми[9]. Случай (а) соответствует постоянным предельным затратам. Случай (б) характерен для многих функций затрат на производство (или закупку), когда независимо от объёма производства на оформление заказа требуются затраты К. В этом случае предельные затраты постоянны, но если при z_i=q предоставляется скидка или происходит разрыв, то предельные затраты при z_i>q уменьшается. Случай (в) отражает общий вид вогнутой функции.

Рисунок 17. Типичные примеры функций затрат

При указанных выше условиях можно доказать следующее:

При заданном исходном уровне запаса x₁= 0 на любом этапе N -этапной модели оптимальным является положительное значение или положительный исходный запас ; их произведение должно быть равно 0, т.е. =0.

Размер заказа на любом этапе i оптимален только тогда, когда он равен 0 или в точности соответствует спросу одного или более этапов. Эти последующие этапы таковы, что если спрос на этапе i+m (<N) удовлетворяется за счет , то спрос на этапах i, i+1, …, i+m-1 также должен удовлетворяться за счет .

Из первого свойства теоремы следует, что на любом этапе i нерационально пополнять запас и размещать заказ в одно и тоже время. Так, предположим, что минимальные предельные затраты на приобретение и хранение одной дополнительной единицы продукции из предыдущего этапа i’ на рассматриваемом этапе i” (i’<i”) равны b’, тогда как предельные затраты на размещение заказа на одну дополнительную единицу в начале этапа i” составляют b”.

Если b”<=b’, то размер заказа на этапе i” можно увеличить, полностью удовлетворив спрос на этапе i”, не повышая полных затрат относительно условия, когда спрос удовлетворяется за счет запаса, имеющегося на этапе i’. Этот результат объясняется тем, что предельные затраты не возрастают. Следовательно, выполнение условия x_i”z_i”= 0 обеспечивает решение, которое по меньшей мере не хуже любого другого. С другой стороны, если b”>b’, то выгоднее увеличить размер заказа на этапе i’, удовлетворив спрос на этапах i’ и i”, вследствие чего размер заказа на этапе i” равен нулю. Этот вывод также следует из условия не возрастания предельных затрат. Отсюда вытекает, что условие x_iz_i= 0 не приводит к какому-либо ухудшению решения при условии, что предельные затраты постоянны или убывают, а исходный запас равен нулю. Второе свойство, в соответствии с которым требуется размещение заказа, покрывающего спрос одного или нескольких этапов, непосредственно вытекает из первого свойства.

Описанные выше свойства (в случае их применимости) позволяют упростить вычислительную схему, в основе которой по-прежнему лежат изложенные ранее общие алгоритмы динамического программирования. Это утверждение поясняется на примере использования алгоритма прямой прогонки.

Так как в соответствии со вторым свойством объем запаса к концу этапа i, т.е. x_i+1, должен в точности соответствовать потребностям одного или более последующих этапов, то число оценок состояния системы на любом этапе определяются числом последующих этапов (а не количеством единиц продукции, требуемой на последующих этапах, как это имеет место в обычной модели). Например, пусть N =5 при спросе 10, 15, 20, 50 и 70 соответственно. Тогда к концу третьего этапа (шага) число оценок состояния x₄ в обычной модели будет 50+70+1=121, тогда как в новой модели оно сокращается до трёх (оставшееся число этапов плюс один), т.к. x₄ может принимать только значения 0, 50 или 120. Аналогичное рассуждение, основанное на первом свойстве, также показывает, что число альтернатив z_i в новой модели намного меньше. В результате объем вычислений для этой модели весьма существенно сокращается.

ГЛАВА 5. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

В тех случаях, когда нельзя пренебрегать нестационарностью или стохастичностью отдельных параметров, применяются более слож­ные методы и модели управления запасами.

Рассмотрим нестационарную модель оптимизации параметров управления запасамиматериальных ресурсов[10].

Зафиксируем последовательность возможных моментов tn,(п = 1, N) получения поставок МР в течение планового периода Т.

Величины: An =tn + 1 — tn n = 1, N; t n+1 = Т назовем длительностя ми п-го этапа (цикла). Спрос за этап «n» равен

tn +1

a (n)= ∫ a (t) dt

tn

где a(t) — функция расхода (спроса) МР. Если обозначить объем наличного запаса МР в момент, непос­редственно предшествующий tn через Q(n), то издержки на под­держание запаса Сh за этап n выражаются через эту величину и объем поставок qn (n) в виде

t n+1 t

Сh(n) = Сh(n)Δn х Q(n + 1) + Сh(n) ∫ dt ∫ (a(t)- a (t) dt

tn tn

где Q(n+l) = Q(n) + q2(n) + d(n).

Таким образом, суммарные издержки за плановый период Т будут равны

N ®

Сå = å{Ch^å (n)+Co(n)x 1[q(n)]},

n=1

1, при q₂ >0

где 1 (qn)= 0, при q₂ = 0

Затраты С_å за вычетом постоянных слагаемых можно записать в виде

N

С_å =å{C_h(n)Q(n+l)+Co(n)xl[q(n)]}, где

п=1

Сh = Ch^å (n) x Dn

Функция С принимается в качестве целевой функции оптимизации управления запасами (поставками) МР для внутрипроизвод­ственной системы, которую следует минимизировать выбором объемов поставок

¾

q₂ (n), n = 1N, с учетом следующих ограничений:

1) Q(l) - задано; Q(n + 1) = Q(n) + q₂(n) - а(п);

¾

2) q₂ (n) i 0; n = 1, N

3) Q(n) i 0; n = 2,.... N+l.

При оптимизации управления запасами МР или ГП в дистрибу­тивной сети часто возникает задача распределения продукции по нескольким уровням складского хранения. В этом случае задача мо­жет сформулирована следующим образом:определить оптимальные по периодам планирования поставки МР (ГП) потребителям, минимизировав суммарные затраты, свя­занные с заказами и поддержанием запасов при ограничении на величину поставок.

Для решения данной задачи можно использовать алгоритм оп­тимизации, основанный на применении аппарата марковских цепей и метода динамического программирования. Предполо­жим, что снабжение МР потребителя осуществляется по двухуров­невой схеме: с распределительного центра (базы) завода-изготовителя МР и склада дилера, что часто встречается на практике. Назо­вем распределительный центр поставщиком №1, склад дилера — поставщиком №2. Состояние потребителя МР зададим вектором ni=(n_1i, n_2i, n_3i), компоненты которого соответственно представля­ет собой: n_1i, — суммарная потребность в МР i-ro наименования; n_2i — поставка МР i-ro наименования от первого поставщика; n_3i — доставка МР от второго поставщика.

Период планирования Т поставок МР i-ro вида разобьем на k интервалов (k = 1,..., М).

Предположим, что на k-м шаге состояние потребителя МР i-ro вида описывается вероятностью перехода Рnimi, из состояния ni=(n_1i, n_2i, n_3i) в состояние mi=(m_1i, m_2i, m_3i)а расходы, соответствующие этому переходу, обозначим через Cnimi

Введем обозначения:

fk(x) = P {ζk = х} — распределение случайной величины ζk — потребности вМР i-ro вида;

pk(u/uk) = р { η_k = u/uk} — условное распределение случайной ве­тчины поставки h_k с базы первого поставщика;

q_k (υ /υ_k) = P{ χ_k = υ /υ_k }-условное распределение случайной ве­личины поставки χ_k со склада второго поставщика.

Стохастический характер поставок η_k χ_k по периодам планирования (k = 1,М) определяется например, неритмичностью производства МР, перебоями в доставке и целым рядом других причин.

Потребность ζk в МР i-ro наименования на k-й период планирования может быть определена по данным прогноза (точечная или Интервальная оценка,). Интервальная оценка потребнобности в МР позволяет, задавшись определенной доверительной веро­ятностью, перевести ζk в нерандомизированную (неслучайную) компоненту, понизив тем самым размерность марковского процесса. Тогда состояние будет характеризоваться двумерным вектором ni=(n_2i, n_3i).

Состав затрат, формирующих критерий оптимизации при использовании обозначений будет следующим:

С_02i, С_03i — затраты на заказы МР i-ro вида при поставках с баз первого и второго поставщика соответственно;

С_hi — удельные затраты хранения МР i-ro вида на складе в тече­ние одного промежутка времени между двумя последовательными поставками;

C_Дсфi ^— Удельный ущерб потребителя вследствие дефицита МР i-го вида за это же время.

Для решения задачи оптимального управления поставкамиМРi -го вида введем следующие допущения и ограничения:

— случайные величины η_k и χ_k независимы;

— суммарный объем поставок за период (0, Т) ограничен и равен Wо (при u_k ≥ 0, u_k ≥ O);

— приращение поставок МР i-го вида с базы второго постав­щика по интервалам планируемого периода равно υ_k = l_kV_o, l_k= 0, 1, 2,...

Используя введенные обозначения, определим вероятность Рnimi перехода процесса из состояния n_i в состояние m_i и суммарные расходы Cnimi сопутствующие этому переходу (при условии, что Сn =Сn^C + Cn^v

Pnimi. = pk(m_2i - n_2i / u_k)q_k(m_3i - n_3i / u_k);

М

Сnimi =C_ni ^c + С_о2i.(m_2i, - n_2i) + С_o3i (m_зi – n_3i) +C_{Деф i} (å w_ij -m_2i –

J=k

М

m_3i) d_mi (k) +С_hi^v (m_зi + m_3i - å w_ij)(1- d_mi (k))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, как видно из данной работы разработаны самые разнообразные модели, описывающие различные частные случаи. Одним из решающих факторов при разработке модели управления запасами является характер спроса. В наиболее простых моделях предполагается, что спрос является статическим детерминированным.

В большинстве моделей управление запасами осуществляется оптимизацией функции затрат, включающей затраты на оформление заказов, закупку и хранение продукции, а также потери от дефицита. Потери от дефицита обычно наиболее сложно оценить т.к. они могут быть обусловлены такими нематериальными факторами, как, например, ухудшение репутации. С другой стороны, хотя оценку затрат на оформление заказа получить нетрудно, включение в модель этой статьи расходов существенно усложняет математическое описание задачи.

Известные модели управления запасами редко точно описывают реальную систему. Поэтому решение, получаемое на основе моделей этого класса, следует рассматривать скорее как принципиальные выводы, а не конкретные рекомендации. В ряде сложных случаев приходится прибегать к методам имитационного моделирования системы, чтобы получить достаточно надежное решение.

Таким образом, для моделирования эффективной системы управления запасами материальных ресурсов необходимо разработать нормы запасов данных материалов, используя эвристические, методы технико-экономических расчетов и экономикоматематические методы.

Важным шагом разработки системы управления запасами должно стать проектирование системы контроля уровня запасов. При этом, опираясь на широкий выбор теоретических моделей, менеджерам необходимо проектировать оригинальные варианты таких моделей, которые бы учитывали особенности конкретного производства.

При помощи моделирования доказывается эффективность применяемых мер внутри производства или производственной программы, поскольку могут быть измерены периоды прохода продукта через всю технологическую линию. При помощи моделирования можно также проверить проекты гибких производственных участков, обслуживаемых автоматическими транспортными средствами, оценить затраты на материально-техническое снабжение производства. Проектирование складов с применением компьютера дает возможности получить информацию об их оптимальной системе, величине необходимых капиталовложений и затратах на эксплуатацию складов. Фирмы часто используют математические модели для выбора уровней запасов путем балансирования затрат на подготовительные операции или расходов на выполнение заказа и сопоставления затрат при дефиците запасов с затратами на хранение запасов. Затраты на хранение запасов включают в себя не только затраты на содержание запасов на складе, издержки вследствие порчи продукции, а стоимость морального износа, но и издержки капитала, иными словами, норму прибыли, которую можно было бы получить, используй другие возможности инвестирования при эквивалентном риске.

Литература

1. Гаджинский А.М. Основы логистики: Учебное пособие. - М.:,1996.

2. Дегтяренко В.Н. Основы маркетинга: Учебное пособие / Ростов, 1992.

3. Модели управления запасов // Экономическая жизнь.,2003 №8

4. Основы маркетинга:Учебник для вузов. М,2003.

5. Лавров О.В. Материальные потоки: Конспект лекции. Саратов, 1995.

6. Экономико-математическое моделирование. Учебное пособие.М.,2002.

[1] Модели управления запасов // Экономическая жизнь.,2003 №8

[2] Модели управления запасов // Экономическая жизнь.,2003 №8

[3] Модели управления запасов // Экономическая жизнь.,2003 №8

[4] Экономико- математическое моделирование. Учебное пособие.М.,2002.

[5] Модели управления запасов // Экономическая жизнь.,2003 №8

[6] Лавров О.В. Материальные потоки: Конспект лекции. Саратов, 1995.

[7] Модели управления запасов // Экономическая жизнь.,2003 №8

[8] Модели управления запасов // Экономическая жизнь.,2003 №8

[9] Экономико- математическое моделирование. Учебное пособие.М.,2002.

[10] Лавров О.В. Материальные потоки: Конспект лекции. Саратов, 1995.

Дата добавления: 2015-05-08