Экстремумы функции

Возрастание и убывание функции

Решение различных задач из области математики, физики и техники приводит к установлению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или нескольких формул, то появляется возможность исследовать ее средствами математического анализа. Имеется в виду возможность выяснения поведения функции при изменении той или иной переменной величины (где функция возрастает, где убывает, где достигает максимума и т.д.). Применение дифференциального исчисления к исследованию функции опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами ее производной, прежде всего ее первой и второй производной.

Рассмотрим вначале, как можно находить интервалы возрастания или убывания функции, то есть интервалы ее монотонности. В п. 8.2 были даны определения монотонно убывающей и возрастающей функции. Исходя из этого, можно сформулировать простые теоремы, позволяющие связать значение первой производной данной функции с характером ее монотонности.

Теорема 1.1. Если функция, дифференцируемая на интервале, монотонно возрастает на этом интервале, то в любой его точке; если она монотонно убывает, то в любой точке интервала.

Доказательство. Пусть функция монотонно возрастет на, значит, исходя из определения 8.2.2, для любого достаточно малого выполняется неравенство: (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Рассмотрим предел. Если, то, если, то. В обоих случаях выражение под знаком предела положительно, значит, и предел положителен, то есть, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы, связанная с монотонным убыванием функции.

Теорема 1.2. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, и, кроме того,для любого, то данная функция монотонно возрастает на; если для любого, то данная функция монотонно убывает на.

Доказательство. Возьмем и, причем. По теореме Лагранжа (п. 14.2),. Но и, значит,, то есть. Полученный результат указывает на монотонное возрастание функции, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Значение функции называется максимумом функции, если для любой точки x из некоторой достаточно малой окрестности точки x_o выполняется неравенство. Точка x_o называется в этом случае точкой максимума функции.

Значение функции называется минимумом функции, если для любой точки x из некоторой достаточно малой окрестности точки x_o выполняется неравенство. Точка x_o называется в этом случае точкой минимума функции.

Максимум или минимум функции называются экстремумами функции. Точка максимума или минимума функции называется точкой экстремума функции.

Необходимое условие существования экстремума: если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке x_o, то ее производная первого порядка в этой точке равна нулю, т.е..

Точки, в которых производная или не существует, называются критическими точками.

Достаточное условие существования экстремума: если x_o - критическая точка функции и при переходе через нее производная меняет знак с плюса на минус, то точка x_o есть точка максимума, а значение функции - максимум функции; если при переходе через точку x_o производная меняет знак с минуса на плюс, то точка x_o есть точка минимума, а значение - минимум функции; если при переходе через точку x_o производная знака не меняет, то экстремума в точке нет, а значение не является экстремумом функции.

График функции называется выпуклым в интервале, если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

График функции называется вогнутым в интервале, если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Точка графика функции, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Если в интервале, то график функции на этом интервале вогнутый.

Если в интервале, то график функции на этом интервале выпуклый.

41.

42.

Дата добавления: 2015-05-08