Электрические поля в пустотах диэлектрика

Теперь мы переходим к интересному, но сложному вопросу о диэлектрической проницаемости плотных веществ. Возьмем, например, жидкий гелий, или жидкий аргон, или еще какое-нибудь неполярное вещество. Мы по-прежнему ожидаем, что у них есть электронная поляризуемость. Но в плотных средах значение Р может быть велико, поэтому в поле, действующее на отдельный атом, вклад будет давать поляризация атомов, находящихся по соседству. Возникает вопрос, чему равно электрическое поле, действующее на отдельный атом?

Фиг. 11.5. Поле внутри щели, вырезанной в диэлектрике, за­висит от ее формы, и ориента­ции.

Вообразите, что между пластинами конденсатора находится жидкость. Если пластины заряжены, они создадут в жидкости элек­трическое поле. Но каждый атом имеет заряды, и пол­ное поле Е есть сумма обоих этих вкладов. Это истинное электрическое поле в жидкости меняется очень-очень быстро от точки к точке. Оно чрезвычайно велико внутри атомов, особенно вблизи ядра, и сравнительно мало между атомами. Разность потенциалов между пластинами есть интеграл от этого полного поля. Если мы пренебрежем всеми быстрыми изменениями, то можем представить себе некое среднее электрическое поле Е, равное как раз V/d. (Именно это поле мы исполь­зовали в предыдущей главе.) Это поле мы должны себе пред­ставлять как среднее по пространству, содержащему много атомов.

Вы можете подумать, что «средний» атом в «среднем» поло­жении почувствует именно это среднее поле. Но все не так просто, и в этом можно убедиться, представив, что в диэлект­рике имеются отверстия разной формы. Предположим, что мы вырезали в поляризованном диэлектрике щель, ориентирован­ную параллельно полю (фиг. 11.5, а). Поскольку мы знаем, что ÑXE = 0, то линейный интеграл от Е вдоль кривой Г, на­правленной так, как показано на фиг. 11.5, б, должен быть равен нулю. Поле внутри щели должно давать такой вклад, который в точности погасит вклад от поля вне щели. Поэтому поле E₀ в центре длинной тонкой щели равно Е, т.е. среднему электрическому полю, найденному в диэлектрике.

Рассмотрим теперь другую щель, повернутую своей ши­рокой стороной перпендикулярно Е (фиг. 11.5, в). В этом случае поле e₀ в щели не совпадает с Е, потому что на стенках щели возникают поляризационные заряды. Применив закон Гаусса к поверхности S, изображенной на фиг. 11.5, г, мы находим, что поле Е_й внутри щели дается выражением

(11.22)

где Е, как и раньше,— электрическое поле в диэлектрике. (Гауссова поверхность охватывает поверхностный поляриза­ционный заряд s_пол = Р.) Мы отмечали в гл. 10, что e ₀Е + Р часто обозначают через D, поэтому e₀Е₀ = D₀равно величине D в диэлектрике.

В ранний период истории физики, когда считалось очень важным определять каждую величину прямым экспериментом, физики были очень довольны, обнаружив, что они могут опре­делить то, что понимают под Е и D в диэлектрике, не ползая в промежутках между атомами. Среднее поле Е численно равно полю Е₀, измеренному в щели, параллельной полю. А поле D могло быть измерено с помощью Е₀, найденной в щели, перпен­дикулярной полю. Но никто эти поля никогда не измерял (таким способом, во всяком случае), так что это одна из многих бесплодных проблем.

В большинстве жидкостей, не слишком сложных по своему строению, каждый атом в среднем так окружен другими ато­мами, что можно с хорошей точностью считать его находящимся в сферической полости. И тогда мы спросим: «Чему равно поле в сферической полости?» Мы замечаем, что вырезание сфери­ческой дырки в однородном поляризованном диэлектрике равно­сильно отбрасыванию шарика из поляризованного материала, так что мы можем ответить на этот вопрос. (Мы должны пред­ставить себе, что поляризация была «заморожена» до того, как мы вырезали дырку.) Однако в силу принципа суперпозиции поле внутри диэлектрика, до того как оттуда был вынут шарик, есть сумма полей от всех зарядов вне объема шарика плюс полей от зарядов внутри поляризованного шарика.

Фиг. 11.6. Поле в любой точке А диэлектрика можно представить в виде суммы поля сферической дырки и поля сферического вкладыша.

Фиг. 11.7. Электрическое поле однородно поляризо­ванного шарика.

Следова­тельно, если поле внутри однородного диэлектрика мы назовем Е, то можно записать

E=E_дырка+E_шарнк,

(11.23)

где E_дырка — поле в дырке, а E_шарик — по­ле в однородно поля­ризованном шарике (фиг. 11.6). Поле одно­родно поляризованного шарика показано на фиг. 11.7. Электрическое поле внутри шарика однородно и равно

(11.24)

С помощью (11.23) получаем

(11.25)

Поле в сферической полости больше среднего поляна величину Р/Зe₀. (Сферическая дырка дает поле, находящееся на ¹/₃ пути от поля параллельной щели к полю перпендикулярной щели.)

§ 5. Диэлектрическая проницаемость жидкостей; формула Клаузиуса — Моссотти

В жидкости мы ожидаем, что поле, поляризующее отдель­ный атом, скорее похоже на Е_дырка, чем просто на Е. Если взять E_дырка из (11.25) в качестве поляризующего поля, вхо­дящего в (11.6), то уравнение (11.8) приобретет вид

(11.26)

или

(11.27)

Вспоминая, что х-1 как раз равна Р/ e ₀Е, получаем

(11.28)

что определяет диэлектрическую проницаемость жидкости и через атомную поляризуемость a. Это формула Клаузиуса — Моссотти.

Если N_a очень мало, как, например, для газа (потому что там мала плотность N), то членом N_a/3 можно пренебречь по сравнению с 1, и мы получаем наш старый результат — уравне­ние (11.9), т.е.

(11.29)

Давайте сравним уравнение (11.28) с некоторыми экспери­ментальными данными. Сначала стоит обратиться к газам, для которых из измерений x можно с помощью уравнения (11.29) найти значение а. Так, для дисульфида углерода при нулевой температуре по Цельсию диэлектрическая проницаемость равна 1,0029, так что N _a = 0,0029. Плотность газа легко вычислить, а плотность жидкостей можно найти в справочниках. При 20°C плотность жидкого CS₂ в 381 раз выше плотности газа при 0°С, Это значит, что N в 381 раз больше в жидкости, чем в газе, а отсюда (если сделать допущение, что исходная атомная поля­ризуемость дисульфида углерода не меняется при его конден­сации в жидкое состояние) N _a в жидкости в 381 раз больше 0,0029, или равно 1,11. Заметьте, что N _a /З составляет почти 0,4. С помощью этих чисел мы предсказываем, что величина диэлектрической проницаемости равна 2,76, что достаточно хорошо согласуется с наблюденным значением 2,64.

В табл. 11.1 мы приводим ряд экспериментальных данных по разным веществам, а также значения диэлектрической проницаемости, вычисленной, как только что было описано, no формуле (11.28).

Согласие между опытом и теорией для аргона и кислорода даже лучше, чем для CS₂, и не столь хорошее для четыреххлористого углерода. В целом результаты показывают, что уравнение (11.28) работает с хорошей точностью.

Наш вывод уравнения (11.28) справедлив только для элек­тронной поляризации в жидкостях. Для полярных молекул вроде Н₂O он неверен. Если провести такие же вычисления для воды, то для N_a. получим значение 13,2, что означает, что диэлектрическая проницаемость этой жидкости отрицательна, тогда как опытное значение x равно 80. Дело здесь связано с неправильной трактовкой постоянных диполей, и Онзагер указал правильный способ решения. Мы не можем сейчас останавливаться на этом вопросе, но если он вас интересует, то подробно это обсуждается в книге Киттеля «Введение в фи­зику твердого тела».

Дата добавления: 2015-05-08