Теплоёмкость твёрдых тел

Закон равнораспределения применяется для определения удельной теплоёмкости кристаллических тел. Поскольку каждый атом из такого тела может колебаться в трёх независимых направлениях, то кристалл можно рассматривать как систему 3N независимых гармонических осцилляторов, где N обозначает число атомов в решётке. Каждый гармонический осциллятор обладает средней энергией k_BT, поэтому средняя полная энергия тела равна 3Nk_BT, а его удельная теплоёмкость 3Nk_B.

Если взять за N — число Авогадро (N_A), то, используя соотношение R = N_Ak_B между газовой постоянной (R) и постоянной Больцмана (k_B), получим выражение для закона Дюлонга — Пти, который описывает молярную теплоёмкость твёрдых тел. Он гласит, что удельная теплоёмкость одного моля атомов кристаллической решётки составляет 3R ≈ 6 кал/(моль·К).

Следует отметить, что этот закон неверен при низких температурах, где важно принять во внимание квантовые эффекты. Он также вступает в противоречие с экспериментально подтверждённым третьим началом термодинамики, согласно которому удельная теплоёмкость любого вещества стремится к нулю при стремлении температуры к абсолютному нулю.^[7] Более точные теории, которые принимают во внимание квантовые эффекты, были разработаны Альбертом Эйнштейном (1907 год) и Петером Дебаем (1911 год).

Многие физические системы можно смоделировать в виде системы связанных гармонических осцилляторов. Движения таких осцилляторов можно разложить на нормальные моды, которые можно представить как вибрационные моды струны фортепьяно или резонансы трубы органа. С другой стороны, теорема о равнораспределении становится неприменимой для таких систем из-за отсутствия обмена энергии между нормальными модами. В предельном случае моды независимы и, таким образом, их энергии сохраняются независимо. Это означает, что смешивание энергий, формально называемое эргодичностью, важно для выполнения закона равнораспределения.

Формула Планка.

Выразим суммарную энергию фотонов через объемную спектральную плотность излучения , т.е. через энергию отнесенную к единице объема и к единичному интервалу изменения частоты:

Подставляя в это выражение

и

найдем

Сокращая обе части равенства на , заменяя на и на , найдем окончательно

Полученное соотношение называется формулой Планка.

Формулу Планка часто записывают через спектральную плотность излучения, отнесенную к единичному интервалу длин волн:

Дата добавления: 2015-05-09