Умови стійкості однорідної системи. Детермінанти і коефіцієнти стійкості

У стані рівноваги потенціали мінімальні, і це пов'язано з тим, що . Будемо казати, що S, V I U мають т.з. будь-які віртуальні зміни δS, δV, δU.

Якщо в системі з'явилися такі зміни, то нам необх. знайти такі умови, щоб система завдовольняла флюктуаціям повернулась в попередній стан.

— диференціал U.

— друга варіація U. Перша варіація дає умову рівноваги, друга — стійкої рівноваги. Вираз δ²U – квадратична форма: .

Умови невід'ємності КФ полягають у тому, що визначник цієї форми і всі його головні мінори позитивні.

,

.

Це т.з. Критерій Сільвестра.

— адіабатні коефіцієнти стійкості

Ця матриця дорівнює якобіану D – детермінант Сільвестра.

Якщо є функції , то визначник символічно записується як

і зветься Якобіаном. Властивості Якобіана: 1) будь-яку похідну можна записати як ; 2) ; 3) — обернений Якобіан. Теорія якобіанів використовується при переході від одних змінних до інших; 4) .

Назвемо Якобіан коефіцієнтом стійкості. Для того, щоб система була у стані термодинамічної рівноваги, необхідно щоб D, який являє собою якобіан, збудований з похідних сил по відповідним координатам і всі його головні мінори були позитивні. Величини на головній діагоналі

і назвемо адіабатними коефіцієнтами стійкості (АКС).

— коефіцієнт Гука (шв. звука). Обернена величина — стисливість.

— адіабатне поширення.

Всі похідні в ΔС беруться по термодинамічних координатах. Кожній координаті відповідає термодинамічна сила. V, S = const => ідуть ізохорні адіабатні процеси. Практично легше підтримати const P i T (сталі сили). Перейдемо від похідних по координатах до похідних по силах. Використаємо третю властивість і побудуємо зворотн. ΔС.

, — обернені коефіцієнти стійкості. Це ізодинамічні величини при сталих силах, а величини , назвемо ізодинамічними коефіцієнтами стійкості(ІКС). За стійкості системи відповідають: D, АКС, ІКС, а не будь-які величини. Перш ніж дослідити будь-які системи, необхідно впевнитись, що вона стійка.

Знайдемо відповідність між ІКС та АКС.

. Перейдемо від величини до Якобіану (детермінанту). Робимо роздвижку , де — адіабатний термічний коефіцієнт стійкості.

— ізодинамічний термічний коефіцієнт стійкості.

Розглянемо АКС:

,

.

Це рівняння пов'язує ΔС з КС.

КС мають прозорий статичний зміст. Вони обернено пропорційні флуктуаціям системи.

12. Перша лема Гібса. Стат. зміст коефіцієнтів стисливості. Відносна флуктуація енергії.

КС мають прозорий статичний зміст. Вони обернено пропорційні флуктуаціям системи. Покажемо це.

Треба перейти від мікроскопічних величин до макроскопічних. Зручно використати метод мікроканонічного ансамблю. Запишемо будь-яку флуктуацію по ансамблю Гібса:

Використаємо вираз

Для статичних незалежних величин це ≠ 0.

— кореляція фізичних величин U i Н, що показує їх статичну незалежність.

.

Перша лема Гібса:

Леми Гібса встановлюють зв’язок між макроскопічними параметрами та флуктуаціями.

Виберемо за функцію функцію Гамільтона: , ,

де – середньоквадратична флуктуація

; ; ; ; ;

– коефіц. стисливості

Отримали термічний коефіц. стисливості. Друга Лема дозволила б отримати механічний коефіц. стисливості:

,

– флуктуації об’єму.

Отримали, що термічний коефіц. стисливості обернено пропорц. флуктуаціям енергії, а механічний коефіц. стисливості обернено пропорц. стисливості.

Знайдемо відносну флуктуацію енергії

Візьмемо ідеальний газ

,

,

– кількість частинок системи. Для малих необхідна велика кількість .

,

Результати стат. фізики відповідають експерименту, оскільки в макроскопічних системах кількість частинок велика.

1 моль – ,

Тому можна вважати, що в стат. фізиці знаходяться точні величини.

, – система має макс. флуктуації та мінім. стійкості (наприклад, не можна сказати, де рідина, а де пара – критичний стан, фазовий перехід).

Дата добавления: 2015-05-09