Оценка погрешностей измерений

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Графическое изображение опытных и расчетных данных облегчает сравнение величин, позволяет легко обнаружить характер изменения их (наличие максимумов, минимумов, точек перегиба и т.п.). В таблицах все эти особенности проявляются менее отчетливо.

При построении графиков необходимо соблюдать следующие основные правила:

2.1 Значение независимой переменной откладывают по оси абсцисс,

функции – по оси ординат.

2.2 Масштабы нужно выбирать так, чтобы координаты любой точки графика могли быть определены легко и быстро. Если расстояние между главными соседними линиями разделено на десять равных частей, то наиболее удобно выбирать такой масштаб, в котором это расстояние принято за одну, две, четыре или пять единиц. Цифровые обозначения этих величин необходимо проставлять равномерно вдоль всей оси. На каждой координатной оси необходимо проставить название представляемой ею величины и единицы, в которых она измеряется.

При выборе шкалы по осям координат нет необходимости откладывать величины с нулевого значения, если это не вызвано специальными соображениями (экстраполяция и т.п.). В соответствии с этим правилом шкала для каждой переменной величины может начинаться с наименьшего округленного значения из совокупности данных и заканчиваться округленным в сторону большего значения.

2.3 Масштаб желательно выбирать так, чтобы кривая проходила через всё поле графика, насколько это возможно.

2.4 Кривая должна быть плавной, проходить насколько возможно близко ко всем

нанесенным точкам. Примерно одна половина всех точек должна лежать по одну сторону кривой, а вторая – по другую. Кривая не должна содержать необъяснимых разрывов, самопересечений или других подобных особенностей.

Рекомендуется на графике четко выделять опытные точки, а кривую, проведенную по ним, представлять сравнительно тонкой линией. На линиях, полученных в результате теоретических расчетов, точки не проставляются.

1.3 Общие положения

При выполнении измерений результат всегда получается с некоторой погрешностью. Погрешностью измерений называют величину , определяемую из неравенства

,

(1)

где – истинное значение измеряемой величины, – измеренное значение величины.

Поскольку точное значение не известно, точно узнать нельзя. Поэтому указывают интервал , внутри которого с определенной вероятностью, называемой доверительной вероятностью, расположено значение . За лучшую оценку истинного значения результата измерений, принимают среднее арифметическое () из всех величин , полученных в процессе отдельных измерений, выполненных в одинаковых условиях:

(2)

где n – число отдельных измерений.

Качество результатов измерений бывает удобно характеризовать не абсолютной погрешностью , а ее отношением к найденному значению измеряемой величины , которое называют относительной погрешностью a и выражают в процентах:

(3)

Погрешности измерений принято подразделять на систематические, случайные и грубые.

Грубые погрешности (промахи) появляются из-за недостатка внимания экспериментатора. Грубая погрешность обычно существенно превышает случайную.

3.2 Систематические погрешности

Систематические погрешности δ вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Систематическую погрешность можно оценить, сравнив полученные результаты измерений с расчетным значением измеряемой величины, найденным на основании более точных экспериментальных данных, приведенных в справочнике.

3.3 Случайные погрешности

Случайные погрешности обязаны своим происхождением ряду причин, действие которых неодинаково в каждом опыте и не может быть учтено. Чаще всего случайные погрешности подчиняются нормальному закону распределения и могут быть оценены с помощью выборочной средней квадратической погрешности отдельного измерения ():

(4)

При большом числе измерений () можно утверждать, что точное значение измеряемой величины лежит в интервале с доверительной вероятностью 0.68 или в интервале с вероятностью 0.95.

Если для нахождения определенного значения физической величины проводят несколько (n) параллельных измерений, а затем по формуле (2) рассчитывают их среднее значение , то средняя квадратическая погрешность среднего арифметического будет меньше погрешности отдельного измерения в раз:

(5)

В предлагаемых лабораторных работах случайную погрешность измерений следует оценивать по формуле (4) на основании нескольких измерений (), выполненных в одинаковых условиях.

3.4 Учет систематической и случайной погрешностей

Часто бывает, что систематическая и случайная погрешности близки друг другу и обе определяют точность результата. Тогда можно найти суммарную погрешность , полагая, что систематической погрешности соответствует не бόльшая доверительная вероятность, чем утроенной среднеквадратической погрешности :

(6)

3.5 Погрешности косвенных измерений

Измерения подразделяются на прямые и косвенные. При прямом измерении искомую величину определяют непосредственно с помощью измерительного устройства, например находят высоту поднятия жидкости в манометре с помощью измерительной линейки. Результат косвенных измерений вычисляют по данным прямых измерений с помощью формул. Например, в работе № 1 средний тепловой эффект реакции находят по опытным данным с помощью формулы (см. приложение 2)

Погрешности прямых измерений могут быть найдены по соотношениям (3.4), (3.5) и (3.6). Если при косвенных измерениях интересующая нас величина является известной функцией других величин , которые измеряются непосредственно

(7)

то ее абсолютную погрешность можно найти как

(8)

где – абсолютная погрешность величины .

Лучшим приближением к истинному значению , как и в случае прямых измерений, считают среднее арифметическое значение .

Среднеарифметическое значение измеряемой величины и погрешность результата можно вычислить двумя способами:

1. Вычислить и, подставив эти значения в уравнение (3.7), найти . Затем, определив погрешности , по уравнению (3.8) найти .

2. Для каждой группы результатов совместных измерений (); (), …; (); …; () найти , затем рассчитать среднеарифметическое значение :

(9)

а погрешность определения величины вычислить обычным путем:

(10)

Систематическую погрешность косвенных измерений, как и прямых, можно оценить путем сравнения с результатами расчетов, выполненных с использованием справочных данных.

3.6 Требуемая точность вычислений. Целесообразное число значащих цифр в представлении результатов измерений

Во всех случаях нужно придерживаться следующего правила. Погрешность, получающаяся в результате вычислений, должна быть на порядок (т.е. в 10 раз) меньше суммарной погрешности измерений. При этом можно быть уверенным, что в процессе арифметических операций мы ощутимым образом не исказили результата.

Как окончательный результат вычислений записывают числа только с верными цифрами и одной сомнительной (так называется цифра того разряда, в котором содержится первая значащая цифра ошибки). Неверные цифры (правее сомнительной) отбрасывают с соблюдением правил округления. Следовательно, максимальная ошибка округления составит 5 единиц ближайшего отброшенного результата.

3.7 Оценка значимости изменения измеряемой величины

При выполнении предлагаемых лабораторных работ следует руководствоваться правилом: если изменение измеряемой величины превосходит утроенную среднеквадратичную погрешность, то это изменение значимо и является проявлением физико-химической закономерности. В противном случае обычно считают, что измеряемая величина изменялась под действием случайных факторов.

Дата добавления: 2015-05-09