Исходные данные. I. Итерационный метод нахождения корня уравнения F(a, y) = 0:

I. Итерационный метод нахождения корня уравнения F (a, y) = 0:

а) Метод касательных. При заданном начальном приближении корня y₍₀₎ по формуле

находятся очередные приближения до тех пор, пока не окажется

Тогда y _{( k )} = y * принимается за искомое значение корня.

Формальными параметрами процедуры нахождения корня должны быть: начальное приближение корня y₍₀₎, точность приближения e, функции F (x, y), F¢ (x, y) и значение параметра x.

б) Метод половинного деления отрезка. При заданных начальных границах интервала и , содержащего искомый корень, итерационным процессом вычисляются новые границы по границам :

- вычисляется ;

- если , то искомый корень ;

- если , то ;

- если , то

Итерации проводятся до тех пор, пока на некотором шаге не окажется ; тогда принимается за искомое значение y *.

Формальными параметрами процедуры нахождения корня должны быть: начальные границы , , точность приближения e, функция F (x, y) и значение ее параметра x.

в) Метод хорд. Этот метод отличается от предыдущего только тем, что точка определяется другим выражением

.

II. Исходную функцию F (x, y) зададим в виде:

F (x, y) = y × f (x) + g (x) + h (y).

В качестве начального приближения выбрать (для x = a)

.

В качестве начальных границ выбрать (для x = a)

.

Функция F¢ (x, y) = f (x) + h ¢ (y)

Варианты задания функции g (x):

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

Варианты задания функции f (x):

а) 3 + 2 x ²; г) 10,8 - x;

б) 6 + 9×½ x ½; д) 1,7 x ² + 1;

в) 2× x ² - x + 1,8; е) (1 + 0,6 x)².

Варианты задания функции h (y) и h ¢ (y):

а) h (y) = -2,7 sin y; h ¢ (y) = -2,7 cos y;

б) h (y) = 1,14 cos² y; h ¢ (y) = -1,14 sin 2 y;

в) h (y) = 0,2 e ^{– y 2} ; h ¢ (y) = -0,4 ye ^{- y 2};

г) h (y) = ; h ¢ (y) = .

III. Числовые данные

	e	n	x 1	x 2	x 3	x 4	x 5	x 6
а)	0,1		1,1	1,5	1,8	-	-	-
б)	0,2		-0,8	-0,2	1,4	1,9	-	-
в)	0,1		-0,6	-0,1	1,7	2,2	-	-
г)	0,3		-4,1	-2,1	1,6	2,4	2,5	3,0
д)	0,2		-2,7	-1,8	1,1	2,1	2,6	-
е)	0,3		-1,8	-1,2	1,5	1,9	2,3	-

1.3 Упорядочивание последовательности.

По заданным x ₀ и n построить последовательность чисел по закону , i =1, 2, …, n. Затем эту последовательность упорядочить в новую последовательность согласно правилу П и найти в Y номер r элемента, удовлетворяющего условию А.

Входными данными программы являются значения x ₀ и n; программа должна напечатать два массива чисел X и Y, также номер r. В программе предусмотреть:

- процедуру-функцию, вычисляющую значение F (x), с формальным параметром x;

- процедуру упорядочивания массива В размерности m в массив С в соответствии с правилом П - с формальными параметрами B, C, m.

Исходные данные

I. Функция F (x):

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

II. Правило П упорядочивания массива X в массив Y:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) любое отрицательное число левее любого положительного.

III. Условие А, которому должен удовлетворять элемент y_r:

а) y_r - первое слева положительное число (если таких чисел нет, то r = n + 1);

б) y_r - первое справа отрицательное число (если таких чисел нет, то r = 0);

в) ;

г) ;

д) .

IV. Числовые данные

	а)	б)	в)	г)	д)	е)
	1,2	1,8	-2,1	-3,6	4,2	-5,1
n

1.4 Оценка псевдослучайной последовательности. Образовать последовательность псевдослучайных чисел по рекуррентной формуле

при заданных x ₀, x _-1, x _-2 и фиксированном значении a, i = 1, 2, …, N. Подсчитать x _k - количество чисел этой последовательности, оказавшихся в полуинтервале

, k = 0, 1, …, R -1.

Вычислить математическое ожидание

и дисперсию

.

Провести вычисления для значения a = 0 и a = 1. Входными данными для программы служат значения x ₀, x _-1, x _-2 , N, R; выходными данными - массив x [0, R -1], значения M _x, D _x для каждого значения a = 0 и a = 1.

В программе предусмотреть:

- процедуру-функцию, вычисляющую значение F (x, y, z, a), с формальными параметрами x, y, z, a;

- процедуру определения полуинтервала которому принадлежит заданное число z, с прибавлением единицы к значению элемента массива x _k - с формальными параметрами: числа R, Z и массив x[0, R -1].

Исходные данные

I. Функция F (x, y, z, a) = T (f (x, y, z, a)) причем функция f (x, y, z, a) определяется выражением:

а) | sin (ax + y - xz)|; е) ;

б) ; ж) ;

в) cos ² (x + y - z - a); з) ;

г) ; и) ;

д) ; к) .

II. Преобразование T (u) числа u задается следующим образом: если u = 0, u ₁ u ₂ u ₃ … u ₁₀ - представление в виде двоичной дроби с точностью до десятого знака после запятой (то есть , то

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) где

;

ж)

III. Числовые данные

	N	R	x 0	x -1	x -2
а)			0,025	0,211	0,714
б)			0,230	0,050	0,928
в)			0,841	0,126	0,385
г)			0,052	0,568	0,687
д)			0,664	0,099	0,402
е)			0,273	0,591	0,741

1.5 Вычисление интеграла методом Монте-Карло.

Вычислить значения функции в заданных точках t ₁, t ₂, …, t_m. Значение интеграла вычисляется приближенно по методу Монте-Карло: в интервале [1, t ] случайно выбираются M точек x ₁, x ₂, …, x_M и . Входными данными программы служат: числа m, M и массив значений t_i, i = 1, 2, …, m.

В программе предусмотреть:

- процедуру-функцию вычисления значения g (x), с формальным параметром x;

- процедуру без параметров образования «случайного» числа при i –ом обращении в процедуру из числа j _{i -1} образуется j _i = F (j _{i -1}) и затем x_i = 1 + (t - 1) j _i (значение j ₀ =1).

Исходные данные

I. Подынтегральная функция g (x):

а) 2 x + 0,8; г) x + ;

б) x ² - 1; д) x ³ + x - 1;

в) 1 + x + x ²; е) x - 0,5.

II. Рекуррента образования «случайного» числа

, где функция h (z) задается выражением:

а) | sin z |; г)

б) cos² z; д) e ^{- z} ;

в) е) ,

и преобразование T - см. исходные данные предыдущей задачи.

III. Числовые данные

	M	m	t 1	t 2	t 3	t 4
а)				3,5	-	-
б)				6,5	-	-
в)			5,8	8,2	12,0	-
г)			4,3	6,0	10,2	-
д)			5,4	5,4	7,2	8,3

1.6 Вычисление вектора.

По заданному , двум квадратным матрицам и функционалу F, заданному на векторах, вычислить вектор по закону

Входными данными программы служат: размерность n векторов, число С, а также элементы вектора ; выходными данными - элементы вектора .

В программе предусмотреть:

- процедуру-функцию вычисления функционала F (a) с формальными параметрами: массив и его размерность m;

- процедуру умножения матрицы (квадратной) на вектор с формальными параметрами: массив D (матрица), массивы и (векторы), размерность n (векторов матрицы).

Примечание. Если элементы векторов и матриц - вещественные числа, то произведение матрицы D = (d_i, _j) на вектор = (b ₁, …, b_n) есть вектор с компонентами

причем сложение и умножение - обычные операции. Если же элементы векторов и матриц - булевского типа, то в выражении для с_i умножение понимается как конъюнкция, а сложение - как сложение по модулю 2.

Исходные данные

I. Функционал для векторов с вещественными компонентами

а) ; е) ;

б) ; ж) ; в) ; з) ;

г) ; и) ;

д) ; к) .

II. Функционал для векторов с булевскими компонентами

а) = количество true в векторе ;

б) = количество true, предшествующих в первому значению false (F (a) = m, если в значений false нет);

в) при трактовке true как 1 и false как 0 вектор представляет в двоичной системе число ;

г)

д)

е) = максимальное количество значений true между двумя значениями false в векторе ;

ж)

з)

III. Числовые данные

Для элементов векторов и матриц - вещественных чисел

	а)	б)	в)	г)	д)	е)
n
C	0,5	5,8	1,2	9,6	4,3	8,6

Для элементов векторов и матриц - булевских чисел

	а)	б)	в)	г)	д)	е)
n
C

Элементы вектора и матриц A, B выбираются произвольно.

1.7 Вычисление матрицы.

Вычислить элементы квадратной матрицы М по выражению Â (A, B, X, Y), содержащему заданные матрицы A, B и числа x, y. Определить значение функционала F на матрице М. Входные данные для программы: число n - размерность матриц, числа x, y и элементы матриц A, B. Выходные данные: элементы матрицы М и значение функционала F (M).

В программе предусмотреть:

- процедуру-функцию вычисления функционала F (без параметров);

- процедуру для той операции над матрицами, которая входит в выражение Â.

Исходные данные

I. Выражение Â (A, B, X, Y) для вещественных матриц:

а) M = X × (A + y × B) + y × (B + x × A) (операция +)

б) (операция -)

в) (операция *)

г) (операция /)

д) (операция ´,

причем A ² = A ´ A, A ³ = A ²´ A).

Пояснение. Операции ×, +, - между числом и матрицей означает поэлементную операцию (между числом и каждым элементом матрицы); операции между матрицами +, -, *, / - операции поэлементные; операция ´ - обычное произведение матриц.

II. Функционал F

а) ;

б) ;

в) - количество положительных чисел в i - й строке;

г) F(M) = r, где r – номер того столбца, сумма элементов которого минимальна;

д)

III. Числовые данные

	а)	б)	в)	г)	д)	е)
x	0,2	18,3	1,7	24,5	2,5	4,3
y	6,8	1,8	0,2	18,1	19,6	14,2
n

Элементы матриц А и В выбираются произвольно.

1.8 Преобразование матрицы.

По заданной матрице А (размерности n ´ n) вычислить новую матрицу X:

где Е ₁ и Е ₂ - заданные преобразования матрицы А. Входными данными программы являются: число n и элементы матрицы А; выходными - элементы матрицы X.

В программе предусмотреть:

- процедуру вычисления матрицы Е ₁(А) с формальными параметрами: размерность матрицы m, массивы А и В (исходная матрица и вычисляемая);

- процедуру-функцию булевского типа вычисления значения предиката с формальными параметрами: размерность матрицы и массив ее элементов.

Исходные данные

I. Две различные операции Е ₁ и Е ₂ над вещественными матрицами из следующего списка:

а) транспонирование;

б) умножение на 3 всех элементов тех и только тех строк, в которых диагональный элемент больше 1;

в) возведение в l -ю степень (l = 3, 4);

г) замена элементов a _i,j на sin a _i,j для тех и только тех столбцов j, которые имеют в первой строке числа, принадлежащие интервалу [-1, +1] (т.е. -1 £ a _i,j £ 1);

д) к элементам нечетных строк прибавить значение их логарифма;

е) преобразование в симметричную с сохранением элементов, находящихся справа от главной диагонали;

Операции Е ₁ и Е ₂ над булевскими матрицами:

ж) транспонирование;

з) инвертирование (замена true на false и false на true) элементов четных строк матрицы;

и) инвертирование элементов тех и только тех строк, которые на главной диагонали имеют true;

к) возведение в l -ю степень (l = 3, 4), при этом умножение трактуется как конъюнкция, а сложение – как неэквивалентность булевских чисел;

л) преобразование в симметричную с сохранением элементов, находящихся слева от главной диагонали;

м) в каждом нечетном столбце переставить местами первый и последний элементы, второй и предпоследний и так далее.

III. Предикат P (A) на вещественных матрицах:

а) все определители второго порядка положительны (т.е.

;

б) каждая строка матрицы содержит и положительные и отрицательные числа;

в) в каждой строке и каждом столбце матрицы есть элемент по модулю не превосходящий 1;

г) для всех i и j таких, что i < j, имеет место a _{i , j} < a _{j , i};

д) ;

е) сумма элементов, находящихся слева от главной диагонали, вдвое превышает сумму элементов, находящихся справа от главной диагонали.

Предикат P (A) на булевских матрицах:

ж) все определители второго порядка равны true (определитель вычисляется по формуле

ù , где i, j = 1, …, n -1);

з) каждая строка матрицы содержит значения как true, так и false;

и) в каждой строке количество значений true больше количества значений false;

к) в матрице имеется либо строка, либо столбец, целиком состоящий из true;

л) для всех i и j таких, что i < j, имеет место a_{i, j} Ì a _{j , i};

м) количество значений true, находящихся слева от главной диагонали, больше количества значений false, находящихся справа от главной диагонали.

IV. Числовые данные. Размерность матрицы n = 5, 6, 7 или 8, а элементы матрицы выбираются произвольно.

1.9 Рекуррентное образование матрицы.

По двум заданным матрицам X и Y размерности n ´ m вычислить матрицу X ₅ согласно следующему рекуррентному соотношению:

где x ₀ = x, F (A) – функционал на матрице A, E ₁ и E ₂ – две операции над парой матриц образования новой матрицы.

Входными данными программы являются размерности n, m и элементы матриц X и Y; выходными данными – элементы матрицы X ₅.

В программе предусмотреть:

- процедуру-функцию вычисления функционала F с формальными параметрами: размерности n и m массива и сам массив (элементов матрицы);

- процедуру образования матрицы согласно операции E ₁ с формальными параметрами: размерности n, m и три массива (элементов матриц).

Исходные данные

I. Операции E ₁ и E ₂ выбираются из следующего списка (элементы матриц A, B и C = E (A, B) обозначены a_i,j, b_i,j, c_i,j 1£ i £ n, 1£ j £ m.

В случае вещественных матриц:

а)

б)

в)

г)

д)

В случае булевских матриц:

е)

ж)

з)

и)

к)

II. Функционал F (A) на матрице A = (a_{i , j}), 1 £ i £ n, 1 £ j £ m

В случае вещественных матриц:

а) ;

б) , где k = min(n, m);

в) ;

г) , где j _i - количество положительных чисел в i-ой строке матрицы A;

д) .

В случае булевских матриц:

е) , где d _i – количество true в i -й строке;

ж) F (A) количество false среди значений a ₁,₁, a ₂,₂ , …, a_k, _k, где k = min (n, m);

з) F (A) = max L_i, где L_i - целое число, двоичное представление которого дает i -ый столбец при замене true на 1 и false на 0;

и) общее количество true, среди значений a_i,j, когда i < j;

к) F (A) = min(m _i - n _i), где m _i - количество true и n _i - количество false в i -м столбце.

III. Числовые данные

	а)	б)	в)	г)	д)
n
m

Элементы матриц X и Y могут быть выбраны произвольно.

1.10 Определение характеристики степеней матрицы.

Для заданной квадратной матрицы A порядка m найти ее степени A ², A ³, …, Aⁿ и вычислить значения функционала F (Aⁱ ), i = 1, …, n. Если для некоторого l (2 £ l £ n) окажется F (A^l ) > c, то вывести на печать значение p = true и F (A^l ), …, F (Aⁿ); в противном случае напечатать значения p = false. Входными данными программы являются значения m, n, c и элементы матрицы A.

В программе предусмотреть:

- процедуру умножения двух матриц с формальными параметрами: три массива (элементов двух исходных матриц и матрицы их произведения) и порядок матрицы;

- процедуру-функцию вычисления значения функционала на матрице с формальными параметрами: массив элементов матрицы и ее порядок.

Исходные данные

I. Элементы матрицы A:

а) произвольные вещественные числа;

б) булевские числа;

в) вероятности, т.е. вещественные числа в пределах от 0 до 1 (стохастические матрицы).

II. Функционал F (A) на матрице – см. задачу 1.9.

III. Числовые данные

	а)	б)	в)	г)	д)
n
m
с

1.11 Преобразование сумм.

Функциональная сумма вида

задается массивом коэффициентов p ₀, p ₁, …, p_r. По заданному выражению

F(p ₁(x), p ₂(x), p ₃(x)) = Q (x)

над тремя такими суммами найти коэффициенты q ₀, q ₁, …, q_r аналогичного вида суммы Q (x). Затем вычислить Q (x_j), j = 1, …, m.

Входными данными программы являются: массивы коэффициентов сумм p ₁(x), p ₂(x), p ₃(x); их размерность r; значения x ₁, …, x_m и число m. Выходными данными являются: массив коэффициентов q ₀, q ₁, …, q_r и числа Q (x ₁), …, Q (x_m).

В программе предусмотреть:

- процедуры для тех операций над суммами, которые входят в выражение F с формальными параметрами: массивы (коэффициентов исходных сумм и результирующей) и их размерность;

- процедуру-функцию вычисления значения суммы p (x) в заданной точке с формальными параметрами: массив коэффициентов суммы и значение x.

Исходные данные

I. Задание функциональной суммы

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

II. Выражение :

(операции – суммирование двух сумм, интегрирование одной суммы);

(операции – суммирование двух сумм и дифференцирование одной суммы);

(операции – вычитание одной сумм из другой и интегрирование одной функции);

г)

(операции – дифференцирование одной суммы и *);

(операции – вычитание одной суммы из другой и *);

е)

(операции – дифференцирование суммы и );

(операции – вычитания и );

з)

(операции – интегрирование и *).

Примечание. Если и то сумма определяется так:

III. Числовые данные

	а)	б)	в)	г)	д)
r
m
x 1	-2,72	-3,18	-3,57	-0,41	-2,17
x 2	-0,04	-1,92	0,82	1,63	4,31
x 3	1,10	2,71	4,44	5,17
x 4	5,07	4,18

1.12 Арифметические операции над двоичными кодами.

Каждое целое число x (| x | £ 2 ^{n –1}) задается булевским массивом размерности n +1: массив (x₀, x ₁, …, x_n) задает число

a ₁× 2 ^{n -1} + a ₂× 2 ^{n -2} + … + a_{n -1}× 2 + a_n,

где

причем знак числа определяется по x ₀: знак +, если x ₀ = true, и знак -, если x ₀ = false.

По заданной функции F (x, y, z) и трем числам x, y, z (в виде булевских массивов) вычислить число u = F (x, y, z) - также в виде булевского массива. Полученное число вывести на печать. Входными данными программы являются: n и три булевских массива; выходным значением является u.

Функция F (x, y, z) содержит операции; для ее вычисления в программе предусмотреть процедуры выполнения этих операций над булевскими векторами.

Исходные данные

I. Функция F (x, y, z):

а) ; (операции + и)

б) ; (+ и ×2 ⁱ)

в) ; (+ и i)

г) ; (- и )

д) ; (- и i)

е) ; (+, ×2 ⁱ, i)

ж) ; (+, -, )

з) ; (+, i, )

и) ;(-, ,×2 ⁱ)

к) . (-, , i)

Пояснение.

- операция + определяется как сложение чисел по модулю 2 ⁿ;

- операция - определяется как вычитание чисел по модулю 2 ⁿ;

- операция ×2 ⁱ – умножение числа на ×2 ⁱ (результат берется по модулю 2 ⁿ);

- операция i - циклического сдвига значащих разрядов числа на i позиций вправо;

- операция - изменения значащих разрядов числа на противоположное.

Старшими считаются операции ×2 ⁱ, i, , младшими +, -.

II. Вывод числа u - результата.

а) в виде массива булевских чисел;

б) в виде десятичного числа (перевод числа u в десятичную систему оформить в виде процедуры функции);

в) в шестнадцатеричном виде.

III. Числовые значения

а)	б)	в)	г)	д)

Значения булевских массивов для x, y, z произвольны.

Дата добавления: 2015-05-09