V. Формування поняття періодичної функції, періоди функції

Виконання вправ

IV. Вивчення зміни знаків тригонометричних функцій.

Число sin α — це ордината відповідної точки Р_α, тому sin α > О, якщо точка розташована вище осі абсцис, тобто в І і II чвертях (рис. 52). Якщо ця точка лежить нижче осі абсцис, то її ордината від'ємна в третій і четвертій чвертях.

Число cos α — це абсциса точки Р_α, тому cos α > 0 в І та IV чвертях, cos α < 0 в II та III чвертях (рис. 53).

sin α cos α tg α, ctg α

Так як , , то tg α > 0 і ctg α > 0, якщо sin α і cos α мають однакові знаки, тобто в І і III чвертях, і tg α < 0 і ctg α < 0 в II і IV чвертях (рис. 54).

1. Знайдіть знак виразу:

а) cos ; б) sin ; в) ctg (π + α); г) tg , якщо 0 < α < .

Відповідь: а) мінус; б) плюс; в) плюс; г) плюс.

2. Визначте знак виразу:

а) sin105° – cos105°; б) cos155° – sin255°; в) tg127° · ctg200°; г) tg351° · ctg220°.

Відповідь: а) мінус; б) плюс; в) мінус; г) мінус.

3. Визначте знак добутку:

а) tg 2 · tg 3 · ctg 3 · cos 1; б) sin 1 · cos 2 · tg 3 · ctg 4.

Відповідь: а) мінус; б) плюс.

У природі часто зустрічаються явища, які повторюються пері­одично. Наприклад, Земля при обертанні навколо Сонця періо­дично повертається У своє початкове положення через рік, два роки, три роки і т. д., тому говорять, що період обертання Земля навколо Сонця дорівнює одному року. Періодичний характер мають рухи маховика і колінчатого вала. Властивість періодич­ності мають звукові, електромагнітні явища, робота серця люди­на і т. д. Закономірності періодичних явищ описуються періо­дичними функціями, до вивчення яких ми і приступаємо.

!

Функція у = f(x) називається періодичною з періодом Т 0, якщо для будь-якого х із області визначення числа х + Т і х – Т також належать області визначення і виконується рівність f(x + Т) = f(x – Т) = f(x).

Так як одній і тій самій точці Р_α одиночного кола відповідає нескінченна множина дійсних чисел α + 2πk, де k Z, то

Звідси випливає, що 2nk – періоди функції синус і косинус (k 0); π – найменший період функцій тангенс та котангенс.

Як правило, слова “найменший додатний період” опускають. Прийнято говорити, що період тангенса і котангенса дорівнює π, а період косинуса і синуса дорівнює 2π.

Дата добавления: 2015-05-10