Аналитические сигналы

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ. ИЗМЕРЕНИЕ

При количественном измерении определяют интенсивность аналитического сигнала, т.е. числовое значение свойства, связанного с количественным содержанием анализируемого компонента. В гравиметрическом методе аналитическим сигналом является масса высушенного или прокаленного осадка, в титриметрическом – объем раствора, израсходованного на химическую реакцию, в фотометрическом – оптическая плотность раствора и т.д. По результатам количественного измерения с помощью уравнения связи рассчитывают содержание определяемого компонента в пробе. Уравнение связи выражает количественную зависимость между интенсивностью аналитического сигнала (измеряемой величиной) и количеством или содержанием анализируемого компонента

Р = f (с),

где Р – интенсивность аналитического сигнала; с – концентрация вещества.

Вид функциональной зависимости (например, линейная, логарифмическая и т.д.) определяется особенностями аналитического сигнала. В качестве уравнения связи могут быть использованы теоретически обоснованные соотношения или эмпирически найденные зависимости между интенсивностью аналитического сигнала и концентрацией.

Если и составляют пару преобразований Гильберта

(85)

то сигнал называют аналитическим. Если сигнал X(t) имеет неприрывный спектр

(86)

то спектр сопряженной функции

(87)

где знаковая функция

Прямое преобразование Гильберта можно рассматривать как результат прохождения X(t) через линейный четырехполосник, сдвигающий фазу всех составляющих спектра на угол -p/2. Комплексная частотная и импульсная характеристики такого четырехполосника, соответственно, равны

K(jw)=-jsignw, g(t)=1/pt (88)

Следовательно спектр аналитического сигнала

(89)

односторонний и существует только в области положительных частот. Это удобное свойство.

Аналитический сигнал. Можно выполнить обратное преобразование Фурье и в другой форме - раздельно для положительных и отрицательных частот спектра:

s(t) = S(w)·exp(jwt) dw + S(w)·exp(jwt) dw. (10.1.1)

Информация в комплексном спектре сигнала является избыточной. В силу комплексной сопряженности полную информацию о сигнале s(t) содержит как левая (отрицательные частоты), так и правая (положительные частоты) часть спектра S(w). Аналитическим сигналом, отображающим вещественный сигнал s(t), называют второй интеграл выражения (10.1.1), нормированный на p, т.е. обратное преобразование Фурье спектра сигнала s(t) по положительным частотам:

z_s(t) = . (10.1.2)

Дуальность свойств преобразования Фурье определяет, что аналитический сигнал z_s(t), полученный из односторонней спектральной функции, всегда является комплексным и может быть представлен в виде:

z_s(t) = Re z(t) + j·Im z(t).

Аналогичное преобразование первого интеграла выражения (10.1.1) дает сигнал z_s*(t), комплексно сопряженный с сигналом z(t):

z_s*(t) = Re z(t) - j·Im z(t),

что наглядно видно на рис. 10.1.2 при восстановлении сигналов по односторонним частям спектра, приведенного на рис. 10.1.1-В.

Рис. 10.1.2. Сигналы z(t) и z*(t).

При сложении функций z_s(t) и z_s*(t) с учетом нормировки в (10.1.2) только на 1/π, а не на 1/2π, как в (10.1.1), мы обязаны получить полный исходный сигнал s(t):

s(t) = [z_s(t)+z_s*(t)]/2 = Re z(t).

Отсюда следует, что реальная часть аналитического сигнала z_s(t) равна самому сигналу s(t).

Реальная и мнимая части спектра произвольных каузальных сигналов связаны преобразованием Гильберта. Оно позволяет производить определение любой части частотной характеристики каузальной функции, действительной или мнимой, путем свертки другой ее части с оператором Гильберта 1/pf. Аналогично, мнимая часть аналитического сигнала z_s(t) является аналитически сопряженной с его действительной частью Re z(t) = s(t) через преобразование Гильберта, и называется квадратурным дополнением сигнала s(t):

Im(z(t)) = = TH[s(t)] = s(t) _* hb(t), (10.1.3)

hb(t) = 1/(πt),

z_s(t) = s(t) + j× . (10.1.4)

где индексом обозначен сигнал, аналитически сопряженный с сигналом s(t), hb(t) – оператор Гильберта.

Таким образом, квадратурное дополнение сигнала s(t) представляет собой свертку сигнала s(t) с оператором 1/(πt) и может быть выполнено линейной системой с постоянными параметрами:

= , (10.1.3')

Аналитический сигнал зависит от действительного аргумента, является однозначным и дифференцируемым. На комплексной плоскости он отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются от аргумента, а проекция сигнала на вещественную ось для любого значения аргумента равна значению исходного сигнала s(t). Какой-либо новой информации аналитический сигнал не несет, так как получен линейным преобразованием из исходного сигнала и представляет собой его новую математическую модель.

Почему именно оператор Гильберта применяется для получения квадратурного дополнения сигнала? Какую физическую операцию он выполняет? Ответ на этот вопрос может быть получен при рассмотрении спектра аналитического сигнала.

Дата добавления: 2015-05-10