Производные высших порядков

Производная сложной функции

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ

Если в точке x существуют конечные производные функций v = v (x) и u = u (x), то в этой точке существуют также производные суммы, разности, произведения и частного этих функций, причем:

1.	2.
3.	4.
5.

Если функция y = f (x) имеет производную в точке x₀, а функция y = g (x) имеет производную в точке y ₀ = f (x ₀), то сложная функция h (x) = g (f (x)) также имеет производную в точке x₀, причем

Пусть функция определена и дифференцируема. Тогда производная этой функции будет так же некоторой функцией. И эта функция может быть дифференцируема либо снова на всем множестве , либо на какой-то его части. Тогда говорят, что существует вторая производная или производная второго порядка от этой функции: , , . Т.е. вторая производная или производная второго порядка есть производная от производной первого порядка. Функция снова может оказаться функцией дифференцируемой либо на всем множестве , либо на какой-то его части. Значит можно говорить о производной от этой функции. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается: , . Т.о. . Т.е. третья производная или производная третьего порядка есть производная от производной второго порядка.

И.Т.Д.

Производная -го порядка или -ая производная есть производная от производной -го порядка, при условии, что все предшествующие призводные существуют.

Все производные при называются производными высшего порядка, при этом при порядок производной обозначается не штрихами а верхним индексом в скобках. Например .

Понятие дифференциала.

Связь дифференциала и производной.

Пусть функция дифференцируема в т. , т.е. имеет в этой точке конечную производную , которая по определению равна . Тогда по теореме о связи функции и ее предела мы можем записать равенство или . При достаточно малых второе слагаемое в правой части последнего равенства будет величиной достаточно малой, поэтому будет определяться первым слагаемым . Эта величина называется главной частью приращения функции. В тоже время линейно зависит от , поэтому данное слагаемое называется линейной частью приращения функции.

Главная линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается . Т.О. по определению дифференциал

или

Уравнения касательной и нормали к кривой в точке имеют соответственно вид: , .

Дата добавления: 2015-05-10