Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Общее уравнение плоскости




Исследование общего уравнения плоскости

Общее уравнение плоскости

2. Уравнение плоскости “в отрезках”

О п р е д е л е н и е 1. Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение первой степени относительно трех переменных: х, у и z, т.е. уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0. (1) Коэффициенты при х, у и z являются координатами вектора, который перпендикулярен плоскости.

О п р е д е л е н и е 2. Всякий вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Если известна фиксированная точка M 0 (x 0, y 0, z 0), лежащая в данной плоскости, и вектор , перпендикулярный данной плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0, y 0, z 0), перпендикулярно вектору , имеет вид

A (x-x 0) + B (y-y 0) + C (z-z 0)= 0. (2)

Покажем, что уравнение (2) является общим уравнением плоскости (1). Для этого раскроем скобки и соберем в скобки свободный член:

. Ax + By+ Cz + (-Ax 0 - By -Cz 0)= 0

Обозначив D = -Ax 0 - By -Cz 0, получим уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору , если A (4, -3, 1), B (1, 2, 3).

Решение. Найдем нормальный вектор плоскости :

.

Для нахождения уравнения плоскости используем уравнение (2):

Ответ: -3 x + 5 y + 2 z + 25 = 0.

Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (-1, 2, -1), перпендикулярно оси OZ.

Решение. В качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять любой вектор, лежащий на оси OZ, например, , тогда уравнение плоскости

Ответ: z + 1 = 0.


2. Уравнение плоскости “в отрезках”

Рассмотрим общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на (– D).

Обозначив , получим уравнение плоскости “в отрезках”

, (3)

где a, b, c – это отрезки, которые отсекает плоскость от координатных осей.

Задача 1. Найти точки пересечения плоскости 2 x - 3 y - 4 z -24 = 0 с осями координат.

Решение. Приведем уравнение плоскости к уравнению “в отрезках”:

Тогда координаты точек M 1 (12, 0, 0), M 2 (0, -8, 0), M 3 (0, 0, -6). Ответ: M 1 (12, 0, 0), M 2 (0, -8, 0), M 3 (0, 0, -6).

Задача 2. Плоскость проходит через точку M 1 (6, -10, 1) и отсекает на оси абсцисс отрезок а = -3 и на оси аппликат - отрезок с = 2. Составить для этой плоскости уравнение “в отрезках”.

Решение. Уравнение “в отрезках” . Найдем значение отрезка b. Для этого подставим в данное уравнение координаты точки M 1.

.

Ответ: .

Задача 3. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси OZ отрезок с = -5, перпендикулярно к вектору .

Решение. Будем использовать общее уравнение плоскости

.

Приведем полученное уравнение к уравнению “в отрезках”:

;

,

где , но . Тогда и b = -15, и уравнение плоскости имеет вид

.

Приведем это уравнение к общему уравнению плоскости

.

Ответ: 2 x - y - 3 z - 15 = 0.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-10; Просмотров: 599; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.