Прямая и плоскость

Угловые соотношения.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Если прямая L проходит через две различные точки M ₁(x ₁, y ₁, z ₁), и M ₂(x ₂, y ₂, z ₂), то вектор можно взять за направляющий вектор прямой L и получить уравнение прямой, проходящей через точки M ₁(x ₁, y ₁, z ₁), и M ₂(x ₂, y ₂, z ₂):

.

Пусть две прямые заданы своими каноническими уравнениями:

и .

Так как направляющими векторами прямыx L ₁ и L ₂ являются вектора и , то можно получить следующие формулы.

Косинус угла между двумя прямыми:

Условие параллельности двух прямых:

L ₁ | | L ₂

Условие перпендикулярности двух прямых:

L ₁ L ₂

Пусть заданы прямая L и плоскость P в пространстве уравнениями:

L: и P: Ax + B y + C z+ D = 0.

Тогда направляющий вектор прямой имеет координаты , а нормальный вектор плоскости имеет координаты .

Под углом между прямой L и плоскостью P будем понимать острый угол между прямой L и ёё проекцией на плоскость P (рис.3).

L

P

Рис.3

Очевидно, что угол является дополнительным углом углу образованному векторами и . Тогда = 90 – , = сos . И для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью можно использовать формулу:

.

Условием параллельности прямой и плоскости является перпендикулярность нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой:

L | | P .

Условием перпендикулярности прямой и плоскости является коллинеарность нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой:

L P | |

Контрольные вопросы:

1. Что называется нормальным вектором плоскости?

2. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору?

3. Как записывается общее уравнение плоскости?

4. Как записываются параметрические уравнения прямойв пространстве?

5. Как записываются канонические уравнения прямой в пространстве?

6. Как записываются уравнения прямой в пространстве, проходящей через две

точки?

7. Как вычисляются углы между двумя плоскостями, между прямойи плоскостью?

8. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, прямой и плоскости?

9. Какой вид имеет формула расстояния от точки до плоскости?

Дата добавления: 2015-05-10