Уравнения содержащие знак модуля

Графический метод решения систем нелинейных уравнений.

Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными можно решать графически. Для этого нужно начертить графики обоих уравнений и найти координаты точек их пересечения. Нам уже известны графики следующих уравнений:

1. ax + by + c = 0 — прямая линия.

2. xy = k — гипербола.

3. (x - a)² + (y - b)² = R² — уравнение окружности с центром A(a, b) и радиусом R.

К этому виду приводятся с помощью выделения полных квадратов уравнения вида:

x² + y² - 2ax - 2by + c = 0.

4. ax² + bx + c = 0 — парабола y = ax² c вершиной в точке A(m, n), где m = - b / 2a, а n = (4ac - b²) / 4a.

Пример 11.58. Найдём графически корни системы:

Решение. Выделяя полные квадраты, получаем:

x² + y² - 2x + 4y - 20 = (x² - 2x +1) + (y² + 4y + 4) - 1 - 4 - 20 = (x - 1)² + (y + 2)² - 25.

Значит, систему уравнений можно записать так:

Графиком первого уравнения является окружность с центром A(1; - 2) и радиусом 5. А 2x - y = - 1 — уравнение прямой, проходящей через точки B(0; 1) и C(2; 5). Строим окружность радиуса 5 с центром в точке A и проводим прямую через точки B и C. Эти линии пересекаются в двух точках M(1; 3) и N(- 3; - 5). Значит решение системы таково: x₁ = 1, y₁ = 3; x₂ = -3, y₂ = - 5.

Два числа, модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются лишь знаком: если | a| = | b|, то либо a = b, либо a = - b. Применим это замечание к решению уравнения

| 3x - 1| = | 2x + 3|.

В силу сказанного выше из этого уравнения вытекает, что либо 3х - 1 = 2х + 3, либо 3х - 1 = - (2х + 3). Корнем первого уравнения является число 4, а второго — число - 2 / 5. Итак, решение уравнения имеет вид х₁ = 4, х₂ = - 2 / 5.

В других случаях бывает полезно сначала установить, в каких точках обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений — по одному на каждом промежутке.

При решении уравнений с модулем используется определение модуля и метод интервалов. Напомним, что

f (x), если f (x) ³ 0,

| f (x) | =– f (x), если f (x) < 0.

Пример 12.59. Решим уравнение.

| x| = | 3 - 2x| - x - 1.

Решение. Выражение x обращается в нуль при x = 0, а выражение 3 - 2x — при x = 3 / 2. Точки 0 и 3 / 2 разбивают числовую ось на промежутки (- ¥; 0),[0; 3 / 2], (3 / 2; ¥). При - ¥ < x < 0 имеем x < 0 и 3 - 2x > 0. Поэтому на этом промежутке | x| = - x, | 3 - 2x| = 3 - 2x и уравнение принимает вид - x = 3 - 2x - x - 1. Решая его, получаем, что x = 1. Но это значение x не лежит на (- ¥; 0), и потому на этом промежутке уравнение корней не имеет. При 0 £ x £ 3/ 2 имеем x ³ 0, 3 - 2x ³ 0, поэтому | x| = x, | 3 - 2x| = 3 - 2x. И уравнение принимает вид x = 3 -2x - x - 1. Решая его, находим x = 0,5. Так как это значение x принадлежит промежутку [0; 3 / 2], то 1 / 2 является корнем заданного уравнения. Наконец, на промежутке (3 / 2; +¥) имеем x > 0, 3 - 2x < 0, а потому | x| = x, | 3 - 2x| = - (3 - 2x) и уравнение принимает вид x = - (3 - 2x) - x - 1, т.е. 0 = - 4. Значит, на этом промежутке нет корней заданного уравнения.

Мы получили, таким образом, что уравнение имеет лишь один корень, а именно x = 0,5.

Ответ: x = 0,5.

В некоторых случаях уравнение со знаком модуля имеет бесконечно много решений.

Пример 12.60. | 8 - 5x| = | 3 + x| + | 5 - 6x|.

Выражения (8 - 5x), (3 + x) и (5 - 6x) обращаются в нуль соответственно в точках 8 /5, - 3, 5 / 6. Эти точки разбивают числовую ось на 4 промежутка. При этом, в ходе решения, устанавливаем, что на промежутках (- ¥; - 3), (5 / 6; 8 /5], (8 / 5; +¥) уравнение корней не имеет, а на промежутке [- 3; 5 / 6] оно обращается в тождество 8 - 5x = 3 + x + 5 - 6x. Поэтому ответ имеет вид [- 3; 5 / 6].

Ответ: [- 3; 5/ 6].

Несколько сложнее решаются уравнения, в которых встречается знак модуля под знаком модуля. Однако и в этом случае метод разбиения оси на промежутки знакопостоянства позволяет решить уравнение.

Пример 12.61. Решим уравнение | 2x - 3 - | x + 2| | = 8x + 12.

Решение. Выражение (x + 2) обращается в нуль при x = - 2. Если x < - 2, то (x + 2) < 0 и потому | x + 2| = - (x + 2). Значит, на промежутке (- ¥; - 2) заданное уравнение принимает вид |2x - 3 + (x + 2)| = 8x + 12, т.е. | 3x - 1| = 8x + 12. Но при x < - 2 имеем 3x - 1 < 0 и потому | 3x - 1| = - (3x - 1). Получаем уравнение - (3x - 1) = 8x + 12, имеющее корень x = - 1. Так как это число не лежит на промежутке (- ¥; - 2), то заданное уравнение не имеет на это промежутке корней.

Пусть теперь x ³ - 2. Тогда | x + 2| = x + 2, и мы получаем уравнение | 2x - 3 - (x + 2)| =8x + 12, т.е. | x - 5| = 8x + 12. Здесь надо рассмотреть два случая: x < 5 и x ³ 5. В первом случае ½x - 5| = - (х - 5), и потому получаем уравнение - (x - 5) = 8x + 12. Его корень равен - 7 / 9. Поскольку - 2 £ (- 7 / 9) £ 5, то - 7 / 9 является корнем заданного уравнения. Если же x ³ 5, то | x - 5| = x - 5 и уравнение принимает вид x - 5 = 8x + 12. Корнем полученного уравнения является число - 17 / 7. Поскольку оно не лежит на луче [5; +¥), оно не является корнем заданного уравнения. Итак, решение имеет вид x = - 7 / 9.

Ответ: x = - 7 / 9.

Пример 12.62.

| 1 – 2x| + | 3x + 2| + | x| = 5.

Решение. Приравниваем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси полученные значения, исследуем уравнения в каждом из полученных интервалов:

А) если x < – 2 / 3, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 < 0, x < 0 и уравнение переписывается так:

1 – 2x – 3x – 2 – x = 5, т.е. – 6x = 6, x = – 1 Î (–¥; – 2 / 3).

Б) если – 2 / 3 £ x < 0, то 1 – 2x > 0, 3x + 2 ³ 0, x < 0 и поэтому имеем:

1 – 2x + 3x + 2 – x = 5, и т.к. 3 ¹ 5, то в промежутке [– 2 / 3; 0) корней нет.

В) если 0 £ x < 0,5, то получаем: 1 – 2x + 3x + 2 + x = 5, т.е. 2x = 2; x = 1 Ï [0; 0,5).

Г) если 0,5 £ x, то – 1 +2x + 3x + 2 + x = 5, 6x = 4, x = 2 / 3 Î (0,5; ¥).

Ответ: x₁ = – 1; x₂ = 2 / 3.

Пример 12.63.

| x | + | x – 1 | = 1.

Решение. (x – 1) = 0, x = 1; Þ получаем интервалы:

A) x Î (- ¥; 0), тогда – x – x +1 = 1; – 2x = 0; x = 0 Ï (- ¥; 0).

Б) x Î [0; 1), тогда x – x +1 = 1; 1 = 1 Þ x — любое число из [0; 1).

В) x Î [1; ¥), тогда x + x – 1 = 1; 2x = 2; x = 1 Î [1; ¥).

Ответ: x Î [0; 1].

Дата добавления: 2015-05-10