І. Уточнення кореня методом Ньютона

Теоретичні відомості

Х І Д Р О Б О Т И

ПРАКТИЧНА РОБОТА N 2

Алгоритми та методи обчислення

Тема роботи: Методи розв’язання нелінійних алгебраїчних і трансцендентних

рівнянь. Відокремлення коренів рівняння. Уточнення кореню методами

Ньютона та ітерацій.

Мета роботи: Засвоїти методи розв’язання нелінійних алгебраїчних і

трансцендентних рівнянь, навчитися використовувати

електронні таблиці Excel для реалізації методів.

Обладнання: ПЕОМ, MS Excel

1. Ознайомитись з інструкцією до практичної роботи
2. Ввімкнути ПЕОМ, завантажити програму MS Excel
3. Отримати індивідуальне завдання згідно варіанту
4. Виконати завдання №1
5. Виконати завдання №1
6. Роздрукувати початкові дані згідно варіанту, розрахункові формули, результати обчислення
7. В роздруківку вставити колонтитули:

Верхній: номер і назва роботи

Нижній: дата виконання, ПІБ, група, номер варіанта

1. Дати відповіді на контрольні запитання
2. Підготувати звіт.

Нехай рівняння f(x) на відрізку [a, b] має ізольований корінь х^*, тобто f (a) f (b) < 0, а функції f (x) і f¹(x) неперервні і зберігають знак на [a; b].

За дослідженням першої та другої похідної функції f(x) будують фрагмент графіку на проміжку локалізації [a, b] (зростаюча чи спадна функція; графік опуклий чи вгнутий). Дотичну проводять до того кінця графіку на проміжку, в якому виконується умова збігу знаку функції та знаку її другої похідної (*). Точка перетину дотичної з віссю ОХ і визначає наближення до кореня. Розрахунок за формулою:

Дає точку перетину дотичної з віссю ОХ. Процес побудови дотичних (знаходження послідовності наближень х₁, х₂, …… х_n …) продовжується до тих пір доки не буде досягнута завдана точність ізольованого кореня: Якщо виконана умова (*) побудови дотичної, процес буде спадним, тоді в якості кореня приймають останнє знайдене наближення.

Реалізація методу за допомогою електронних таблиць Excel

Метод дотичних легко реалізується за допомогою електронних таблиць.

Нехай потрібно знайти корінь рівняння f(x) = 0

При реалізації цього методу в Excel достатньо розглянути один з кінців інтервалу ізоляції кореня (наприклад, лівий0. Якщо процес розбігається, змінити зміст чарунку на правий кінець.

Надаємо коміркам слідуючі значення:

	А	В	С
	x0	f(x0)	= f^''(x0)
	x0	= f(A2)	= f^''(A2)
	=A2-B2/C2	= f(A3)	= f^''(A3)
	=A3-B3/C3	= f(A4)	= f^''(A4)
	…	…	…

(Процес повторюється до тих пір, коли не буде виконуватись нерівність (*)).

Розглянемо приклад:

Нехай потрібно знайти корінь рівняння 2 – х- ln(x) = 0 з інтервалом локалізації [1; 2].

Тепер досліджуємо рівняння, використавши формули, описані на початку пункту.

Дата добавления: 2015-05-10