Тема: Исследование функции и построение графика

Общая схема исследования функции.

1) Найти область определения функции.

2) Найти (если это возможно) точки пересечения графика с осями координат.

3) Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых или ).

4) Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.

5) Найти интервалы монотонности функции.

6) Найти экстремумы функции.

7) Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

8) Найти асимптоты графика функции.

9) Построение графика.

10) Найти область значения функции.

Приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно лишь несколько операций, например 1,2,7. Если же график функции не совсем понятен и после выполнения всех операций, то можно дополнительно исследовать функцию на периодичность, построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Функция не определена при . Область ее определения состоит из трех интервалов (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

2. Если , то . График пересекает ось Оу в точке ; если , то . График пересекает ось Ох в точке .

3. Функция знакоположительная в интервалах ; знакоотрицательная .

4. Функция является нечетной, т.к. , следовательно, график ее симметричен относительно начало координат. Для построения графика достаточно исследовать ее при .

5. Находим интервалы возрастания и убывания функции.

x = 0; x=- ; x= ; x=-1; x=1.

х				-1		0		1
	+	0	-	0	-	0	-	0	-	0	+
f(x)	возр	max	убыв		убыв		убыв		убыв	min	возр

6. Исследуем функцию на экстремум. Точка х=- является точкой максимума, а точка х= является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно y()=3 /2 и y()=-3 /2. - максимум, - минимум.

7. Исследуем функцию на выпуклость. Найдем вторую производную функции

,

.

x=0; x=-1; x=1.

х		-1		0		1
	-	0	+	0	-	0	+
f(x)	вып		вог	т.пер	вып		вог

Точка х=0 является точкой перегиба. Значение функции в этой точке у(0)=0, -точка перегиба.

8. Прямые являются ее вертикальными асимптотами. Выясним наличие наклонной асимптоты.

Прямая y = x – наклонная асимптота.

9.

График функции

Построим график функции:

10. Область значения .

Дата добавления: 2015-05-10