Оцінка похибки чисельного інтегрування

Однією з характеристик квадратурної формули є оцінка її залишкового члена. За нею можна визначити, яка з квадратурних формул точніша для даного класу функцій.

Гранична абсолютна похибка результату включає залишковий член квадратурної формули, похибку зумовлену неточністю значень підінтегральної функції і заключну похибку округлення. Якщо значення підінтегральної функції в усіх точках обчислюється з однаковою точністю, то похибка обчислень стала. Тоді похибка, зумовлена неточністю підінтегральної функції, обчислюється за формулою ∆ f (b - a).

Для залишкового члена узагальненої квадратурної формули лівих та правих прямокутників має місце формула: , середніх прямокутників , де , .

Тоді гранична абсолютна похибка для лівих і правих прямокутників обчислюється за формулою:

(10)

середніх прямокутників

(11)

де ∆₀ – заключна похибка округлення результату.

Аналогічно, гранична абсолютна похибка значення інтеграла, обчисленого за квадратурною формулою трапецій, дорівнює

(12)

Сімпсона

(13)

де, , , ∆₀ – похибка остаточного округлення результату.

Іноді оцінити залишковий член квадратурної формули дуже важко або й неможливо, наприклад тоді, коли функцію задано таблично і аналітичний вираз її невідомий, або коли функцію задано складним аналітичним виразом і її похідні важко оцінити. Тоді використовують методи подвійного перерахунку, які передбачають двічі обчислювати означений інтеграл, але при різних h. Якщо результати практично рівні, то можна вважати, що обчислення проведено правильно і за остаточний результат взяти значення, обчислене при меншому кроці, а за похибку – різницю між одержаними значеннями.

«Розв’язування диференціальних рівнянь»

Дата добавления: 2015-05-10