Системы счисления цифровых устройств

Системы счисления. Существующие системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления значение конкретной цифры постоянно и не зависит от ее расположения в записи числа. Примером такой системы счисления является Римская система записи числа. Например, в числе XXXVII значение цифры X не зависит от ее местоположения в записи числа. Оно равно 10.

В позиционных системах счисления значимость конкретной цифры определяется ее местоположением в записи числа. Так, произвольное число X в позиционной системе счисления с основанием q в общем случае можно представить в виде полинома

X_q = x_{n- 1} + x_{n -2} q^{n -2} +... + x ₀ q ⁰ + x _-1 q ^-1 +... + x _{- m} q ^{- m}

где x _i — разрядный коэффициент (x_i = 0... q -1); q ⁱ — весовой коэффициент.

Число q называется основанием системы счисления. Следует отметить, что число q может быть как целым, так и дробным.

Если в выше представленном выражении отбросить весовые коэффициенты q ⁱ и соответствующие знаки сложения, то получим сокращенную запись числа, носящую название q -ичного кода числа Х _q. Номер позиции цифры x _i называют его разрядом. Разряды с положительными степенями q образуют целую часть числа Х _q, с отрицательными степенями — дробную. Цифры x _{n -1} и x _-m соответственно являются старшим и младшим разрядами числа.

Количество различных чисел, которое может быть записано в позиционной системе счисления с основанием q при заданном числе разрядов,

N = q^n+m

Количество разрядов, необходимое для записи в позиционной системе счисления с основанием q некоторого числа X, можно определить из следующих соображений. Согласно

N = q^n+m

для записи числа X в системе с основанием q должно выполняться условие X _q ≤ q ^n+m. Тогда

n + m ≥ log _q (X_q + 1)

В цифровой технике нашли применение только позиционные системы счисления.

Для представления числа, записанного в позиционной системе счисления с выбранным основанием q, при помощи электрических сигналов необходимо иметь некоторое электронное устройство, формирующее на выходе q различных электрических сигналов, которые достаточно легко можно отличить друг от друга. При этом необходимое число таких устройств должно равняться числу разрядов целой и дробной частей записываемого числа.

Очевидно, что в этом случае чем больше величина q, тем меньше понадобится указанных электронных устройств. С другой стороны, увеличение q потребует создания сложных электронных блоков, способных формировать на выходе большое число различных электрических сигналов. В этом случае, например при использовании в качестве информационного параметра уровня напряжения при фиксированной его максимальной величине, с увеличением q уменьшается различие между дискретными уровнями выходных сигналов, что в конечном счете усложняет их идентификацию. Последнее повышает вероятность появления ошибок при действии внешних помех и усложняет само устройство.

Критерием выбора q в данном случае является минимизация аппаратных затрат при обеспечении достаточной помехоустойчивости. Попытки чисто математического решения поставленной задачи показали, что оптимальной при поставленных требованиях является система счисления с основанием е = 2,7.... Однако практически создать такую систему сложно и технически нецелесообразно.

Широкое распространение в цифровой технике получила позиционная система счисления с основанием q = 2 — двоичная система счисления. По определению в такой системе фигурируют только два цифровых знака 0 и 1.

При работе с устройствами вычислительной техники приходится сталкиваться с позиционными системами счисления с основанием 2, 8, 10 и 16.

Рассмотрим ряд правил, позволяющих выполнить преобразование чисел из одной системы счисления в другую.

Переход от системы счисления с меньшим основанием к системе счисления с большим основанием осуществляется при помощи выражения

X_q = x_{n- 1} + x_{n -2} q^{n -2} +... + x ₀ q ⁰ + x _-1 q ^-1 +... + x _{- m} q ^{- m}

которое справедливо как для целой, так и дробной частей числа.

Переход от системы счисления с большим основанием к системе счисления с меньшим основанием выполняется с соблюдением следующих правил:

§ целая часть исходного числа делится на основание новой системы счисления;

§ дробная часть исходного числа умножается. на основание новой системы счисления.

В таблице ниже для примера приведен натуральный ряд чисел в различных системах счисления.

Дата добавления: 2015-05-07