Дифференциальные уравнения систем массового обслуживания

АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ

(Процессы размножения и гибели)

Рассмотрим большое число N идентичных систем массового обслуживания с состояниями S ₀,…, S_r. В момент t из них p_i (t) N будут находиться в состоянии S_i Рассмотрим изменение количества систем, находящихся в состоянии S_i за интервал времени [ t, t + . При пуассоновском потоке требований и экспоненциальном обслуживании за малое время Δ t состояние системы может измениться лишь на единицу. За это время на систем поступят новые требования и они перейдут в состояние S_{i +1}, а систем закончат обслуживание и перейдут в состояние S_{i -1}. Кроме того, систем, находящихся в состоянии S_{i -1}, получат новое требование и перейдут в состояние S_i, а систем закончат обслуживание и тоже окажутся в S_i. Т. обр.,

.

Поделив это уравнение на и перейдя к пределу при , получим дифференциальное уравнение

.

Оно неприменимо при i =0, в этом случае

Кроме того, если число состояний r конечно и при r занятых линиях следует отказ, заявка покидает систему,

где λ _r – интенсивность отказов.

Эти уравнения называют уравнениями размножения и гибели, имея в виду их использование в биологии для изучения численности популяций. Одно из их интересных применений – задача о вырождении знатной фамилии.

В условиях статистического равновесия, когда приходим к уравнениям Эрланга

отсюда при условии, что

Пример. Система с отказами. Пусть интенсивность поступающих требований

Обозначим μ интенсивность обслуживания одним каналом, и пусть интенсивность обслуживания при i занятых каналах равна i μ: чем больше нагрузка, тем интенсивнее идет процесс освобождения каналов. Параметр

называют приведенной интенсивностью потока. Тогда вероятность p_i одновременной работы i каналов

а вероятность простоя всех каналов p ₀ находится из условия :

Вероятность отказа среднее число занятых каналов

Иногда вместо вероятности отказа используют понятие пропускной способности системы

Дата добавления: 2015-05-10