D - оптимальные планы

РЦКП

ОЦКП

Планы второго порядка

План дробного факторного эксперимента

В некоторых случаях, если факторы независимы друг от друга, можно значительно уменьшить количество проводимых экспериментов, применяя план дробных факторных экспериментов (ДФЭ). В ДФЭ факторы разделяются на основные и дополнительные. Для основных факторов составляется план ПФЭ, а дополнительные меняются по законам изменения произведений основных факторов. Таким образом, если в эксперименте используется семь факторов, то по плану ПФЭ понадобилось бы провести 128 экспериментов. Если же они независимы друг от друга, то, выделив из них три основных фактора и составив для них план ПФЭ, можно ограничиться всего 9 экспериментами с учетом центральной точки. Планы ДФЭ сохраняют все названные достоинства планов ПФЭ.

Если зависимость результативного показателя эффективности функционирования ОИ является нелинейной, для проведения экспериментов применяют планы второго порядка. На практике чаще всего для этого используют композиционные планы, в качестве ядра которых берутся рассмотренные ранее планы первого порядка ПФЭ и ДФЭ. Для получения требуемой нелинейной зависимости к планам первого порядка добавляются так называемые звездные точки по две на каждый фактор. Например, для двухфакторной зависимости добавляются четыре звездные точки. Составляется матрица планирования, а для вычисления всех коэффициентов по одному и тому же алгоритму к свободному члену b ₀ дописывается фиктивный фактор х ₀, который всегда равен 1

y = b ₀ х ₀ + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂ + b ₁₂ x ₁ x ₂ + b ₁₁ x ₁² + b ₂₂ x ₂². (5.3)

Для вычисления коэффициентов математической зависимости (5.3) можно использовать ортогональный центральный композиционный план (ОЦКП) и ротатабельный центральный композиционный план (РЦКП). Планы второго порядка теряют названные ранее достоинства планов первого порядка ПФЭ и ДФЭ.

ОЦКП сохраняет свойство симметричности плана из-за того, что на каждый фактор вводят по две симметричные звездные точки. Количество проводимых экспериментов: , для m = 2 N = 9. ОЦКП сравнительно несложно построить. ОЦКП в значительной мере упрощает вычисления, что особенно существенно для «ручных» вычислений. Свойство нормированности в ОЦКП сохранить не удается, но это и не так важно. Для обеспечения ортогональности столбцов матрицы планирования вводят некоторые сравнительно несложные преобразования. Расстояние звездной точки от середины осей координат вычисляется по формуле:

.

(5.4)

Вычисляется вспомогательный коэффициент:

(5.5)

Вычисляются новые значения элементов столбцов квадратов факторов:

(5.6)

Для ; по формуле (5.5) вычисляем вспомогательный коэффициент:

;

По формуле (5.6) вычисляем новые значения элементов столбцов квадратов факторов: при при .

Матрица планирования для двух факторов по ОЦКП представлена в виде табл. 5.3.

Таблица 5.3

Факторы	x 0	x 1	x 2	x 1· x 2
ЦТ					–2/3	–2/3
План ПФЭ		–1 –1	–1 –1	–1 –1	1/3 1/3 1/3 1/3	1/3 1/3 1/3 1/3
Звездные точки		–1	–1		1/3 1/3 –2/3 –2/3	–2/3 –2/3 1/3 1/3

РЦКП обеспечивают несущественную величину ошибки в точках, равноотстоящих от центров проведения экспериментов, поэтому они широко применяются в динамических методах поиска экстремальных значений. Расстояние от звездной точки до центра осей координат и количество проводимых экспериментов в центральной точке вычисляются по формулам:

(5.7)

Составим матрицу планирования РЦКП для двух факторов:

Композиционные планы ОЦКП и РЦКП имеют существенный недостаток, который начинает сказываться с увеличением количества факторов в проводимых экспериментах: чем больше факторов, тем больше расстояние звездных точек от центра осей координат, которое все больше и больше удаляется от заданных границ диапазонов изменения факторов, что является нежелательным.

В D -оптимальных планах значения факторов не выходят за установленные границы диапазонов их изменения. Кроме того, они обладают еще одним существенным достоинством, обеспечивая минимальную ошибку во всем принятом диапазоне изменения факторов. На практике наиболее часто применяются планы Коно и планы Кифера.

Дата добавления: 2015-05-26