Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Подбор параметров линейной зависимости. Линия регрессии. Коэффициент корреляции




AОбработка результатов эксперимента методом наименьших квадратов. Реализация МНК в MathCAD.

Пусть в результате эксперимента были получены некоторые данные, представленные в виде таблицы.

x x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 xn- 1
y y 0 y 1 y 2 y3 y4 y 5 y 6 yn- 1

Необходимо построить аналитическую зависимость, наиболее близко описывающую результаты эксперимента.

Идея метода наименьших квадратов заключается в том, что функцию

Y = f (x, a 0 a 1,..., ak)

необходимо подобрать таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений y i от расчетных Yi была наименьшей:

(1)

Т.о., задача сводится к определению коэффициентов ai

Пусть необходимо определить параметры функции, описывающей линейную зависимость:

y = a 0 + a 1 x.

Дано: количество экспериментальных данных n;

координаты экспериментальных точек xi и yi (i =0, n -1).

Найти: коэффициенты a 0 и a 1.

Линия, описываемая уравнением вида y = a 0 + a 1 x, называется линией регрессии y на x.

Параметры a 0 и a 1 называются коэффициентами регрессии и определяются формулами:

(2)

(3)

Формулы (2) и (3) получены из условия (1): чем меньше величина:

тем более обоснованно предположение, что экспериментальные данные описываются линейной функцией.

Существует показатель, характеризующий тесноту линейной связи между x и y, называемый коэффициентом корреляции и рассчитываемый по формуле:

где

(4)

Значение коэффициента корреляции удовлетворяет соотношению:

–1 £ r £ 1.

Чем меньше отличается абсолютная величина r от единицы, тем ближе к линии регрессии располагаются экспериментальные точки.

Если коэффициент корреляции равен нулю, то это означает, что между x и y не существует линейной связи, но между ними может существовать зависимость, отличная от линейной.


1.1. Вычисление коэффициентов регрессии в MathCAD.

Для определения коэффициентов линии регрессии

y = a 0,+ a 1 x

в MathCAD существуют следующие функции:

line(x,y) – возвращает массив

коэффициентов регрессии;

intercept(x,y) – возвращает коэффициент регрессии a0;

slope(x,y) – возвращает коэффициент регрессии a1.

Здесь

x – массив абсцисс экспериментальных точек,

y – массив ординат экспериментальных точек.

ЗАДАЧА 1. Для заданных экспериментальных данных вычислить коэффициенты регрессии. В одной графической области изобразить экспериментальные данные и линию регрессии. Найти значение линии регрессии в точке х=50.

Решение.

1. Ввод экспериментальных данных: количество точек n; массив абсцисс х; массив ординат y. Массив задается как вектор-столбец.

2. Вычисление коэффициентов регрессии а:

3. Определение линии регрессии:

Здесь X иY – теоретические значения линии регрессии.

4. Построение в одной графической области экспериментальных точек и линии регрессии:

5. Вычисление значения функции в точке:

1.2. Вычисление коэффициента корреляции в MathCAD.

Для вычисления коэффициента корреляции в MathCAD предназначена функция

corr(x,y)

где x и y – массивы экспериментальных точек.

Например, для задачи 1:


1.3. Функции, приводимые к линейной

Функция Преобразование
Y = axb ln(y)=ln(axb)= ln(a)+ b ln(x) Y =ln(y), X =ln(x), A =ln(a) Y = A + bX, где a = eA
Y = aebx ln(y) = ln(a) + bx ln(e) Þ ln(y) = ln(a) + bx. Y =ln(y), A =ln(a) Y = bx + A, где a = eA.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-05-26; Просмотров: 1185; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.