Як впливає розташування коренів на поведінку кривої ?

Як формуються теореми А.М. Ляпунова?

Білет №12

При складанні диференціальних рівнянь руху системи, як правило, вводяться відомі спрощення. Ці спрощення проявилися, зокрема, при лінеаризації вихідних рівнянь. Тому при дослідженні стійкості системи виникає законне питання про допустимості використання лінеаризованих рівнянь. Чи не зроблять істотного впливу на стійкість системи ті фактори, якими ми зневажаємо і яким при математичній інтерпретації відповідають члени, що містять відхилення регульованої величини і її похідні в другій і більш високих ступенях? Відповідь на це питання дав А. М. Ляпунов у своїх теоремах про стійкість лінеаризованих систем. Лінеаризовані рівняння системи він назвав рівняннями першого наближення. Приведемо формулювання теорем А. М. Ляпунова без доказу.

Теорема 1. Для стійкості лінійнеаризованої САК необхідно і достатньо, щоб дійсні частини коренів характеристичного рівняння були від’ємними.

Теорем а 2. Якщо характеристичне рівняння лінеаризованної системи має хоча б один корінь з дійсною частиною частиною рівною 0, то лінійна система знаходиться на границі стійкості.

Теорема 3. Якщо серед коренів характеристичного рівняння є хоч 1 корінь, дійсна частина якого є додатньою то система нестійка.

При виводі критерія Михайлова ми судимо про розташування коренів по зміні аргумента годографа Михайлова. При зміні w від - ¥ до ¥ зміна аргументу вираза , який відіграє роль вектора Михайлова для характеристичного рівняння =0:

=( Q(jw)+R(jw))/Q(jw)=F(jw)/Q(jw);

Зміна аргумента = різниці зміни аргументів годографів F(jw) і Q(jw), причому F(jw) характеризує поведінку замкнутої системи, а Q(jw)- розімкненої системи.

Дата добавления: 2015-05-26