КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Обработка результатов прямого измерения
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Вопрос 33 Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины: x1, x2, x3,... xn. (2) Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx. В таком случае мы можем записать результат измерений в виде µ = ± Δx (3) Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом. Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде l = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95) Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм. Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P. Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики. В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой
(4) где Δx – отклонение от величины истинного значения; σ – истинная среднеквадратичная ошибка; σ 2– дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин. Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0, кроме того, она является четной. На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx1 и Δx2 (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx1,Δx2). Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2) , (5) где – n число измерений. Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞. Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина . (6) Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ σ = lim S. (7) С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений. Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина . (8) Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений. Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде: , (9) Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.
В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него. Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что Δx = · t. (10) где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности; Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 2. Из сказанного следует: 1. Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического. 2. При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата. Для этого удобнее воспользоваться таблицей 3, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам. Таблица 2
Таблица 3
При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций: 1. Результат каждого измерения запишите в таблицу. 2. Вычислите среднее значение из n измерений = Σ x i / n. 3. Найдите погрешность отдельного измерения . 4. Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений (Δx 1)2, (Δx 2)2,..., (Δx n)2. 5. Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического 6. Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95). 7. Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n. 8. Найдите доверительный интервал (погрешность измерения) Δx = · t. 9. Если величина погрешности результата измерения Δx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора δ, то в качестве границы доверительного интервала возьмите
. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте. 10. Окончательный результат запишите в виде . 11. Оцените относительную погрешность результата измерений . Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.
Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты (таблица 4). Таблица 4
Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10). Δd = 0.01238 · 2.57 = 0.04 мм. Сравним случайную и систематическую ошибки: , следовательно, δ = 0.005 мм можно отбросить. Окончательный результат запишем в виде d = (4.01 ± 0.04) мм при Р = 0.95.
Дата добавления: 2015-05-26; Просмотров: 494; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |