Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

1. Определение. Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что

. (4.4)

Число называется собственным значением оператор (матрицы ), соответствующим вектору .

Равенства (4.4) можно записать в матричной форме:

(4.5)

Из (4.5) следует

. (4.6)

Отсюда следует, что число есть собственное число оператора тогда, когда , т.е. есть корень многочлена , называемого характеристическим многочленом оператора . Столбец координат любого собственного вектор, соответствующего числу , есть некоторое ненулевое решение однородной системы (4.6).

Пример 4.3. Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей

.

Решение. Составляем характеристическое уравнение или , отсюда собственные числа линейного оператора .

Находим собственный вектор , соответствующий собственному числу . Для этого решаем матричное уравнение

или ,

откуда получим .

Собственный вектор , где произвольное число, отличное от нуля.

Аналогично найдем собственные векторы и , соответствующие собственным числам . Они имеют вид: и , где и отличные от нуля произвольные числа.

2. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

Если оператор , действующий в пространстве , имеет линейно независимых собственных векторов , соответствующих собственным числам , то в базисе из этих векторов матрица оператора имеет диагональный вид

. (4.7)

Пример 4.4. Привести матрицу линейного оператора из предыдущего примера 4.3.

к диагональному виду.

Решение. Собственные вектора матрицы и образуют базис, т.к. они линейно независимы, . Матрица перехода от старого базиса к новому базису примет вид

,

тогда обратная матрица равна

.

По формуле (2.3)

.

Диагональными элементами матрицы в новом базисе из собственных векторов являются собственные числа и .

Найти собственные числа и собственные векторы оператора (матрицы )

4.7. .

4.8. .

4.9. .

4.10.

4.11. .

4.12. .

4.13. Матрицы из задач 4.7-4.12, если можно привести к диагональному виду.

Дата добавления: 2015-05-26