Геометрическая интерпретация множества решений систем линейных неравенств

1. Множества, элементами которых являются точки, называются точечными.

Точечное множество называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий их. Частными случаями точечных множеств на плоскости служат выпуклые многоугольники, в пространстве – выпуклые многогранники.

Точка выпуклого множества называется угловой, если через нее нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек данного множества, и для которого она была бы внутренней. Для выпуклого многоугольника угловыми точками являются все его вершины.

В пространстве выпуклое множество с конечным числом угловых точек называется выпуклым многогранником.

Множество решений системы линейных неравенств с двумя неизвестными является выпуклым многоугольником.

№ 5.62. Построить множество решений системы линейных неравенств.

Найти координаты угловых точек.

Решение. Строим прямую по точкам и ее пересечения с осями координат. Подстановка координат начала , как контрольной точки, в строгое неравенство дает , т.е. оно выполняется. Следовательно, из двух полуплоскостей, на которые разбивает плоскость прямая , множеством решений первого неравенства является содержащая начало координат нижняя полуплоскость вместе с этой прямой.

Аналогично находится множеств решений других неравенств. Следовательно, множество решении системы из пяти неравенств - выпуклый многоугольник , а - его угловые точки.

Рис. 5.8.

Точка является точкой пересечения прямых V и I. Решая совместно уравнения этих прямых, получим , то есть точку . аналогично находим координаты угловых точек: , , , , .

2. Если рассматривать множество решений линейных неравенств с неизвестными, то множеством решений является выпуклый многогранник в - мерном пространстве.

№ 5.63. Построить множество решений системы линейных неравенств и найти координаты угловых точек:

Решение. Строим плоскость по точкам , и ее пересечения с осями координат. подстановка координат контрольной точки в строгое неравенство дает , то есть оно выполняется. Следовательно, из двух полупростанств, на которые разбивает плоскость пространство, множеством решений является нижнее полупространство с этой плоскостью.

Плоскости -координатные плоскости. Множеством решений системы будет выпуклый многогранник (тетраэдр) , угловые точки , , , .

Рис. 5.9.

Построить множество решений системы линейных неравенств и координаты их угловых точек:

№ 5.64.

№ 5.65.

№ 5.66.

№ 5.67.

№ 5.68.

№ 5.69.

Дата добавления: 2015-05-26