Рівняння Шредінгера для кристала. Адіабатичне наближення розв’язку рівняння Шредінгера

На відміну від макроскопічних тіл, мікрочастинки, якими є ядра і електрони, володіють специфічними властивостями. Тому стан електронів і ядер у кристалі потрібно описувати у рамках уявлень квантової механіки – науки про рух і взаємодію мікрочастинок. Одним з основних її положень є твердження про існування стаціонарних станів мікрочастинок та їх систем. Стаціонарні стани системи мікрочастинок, описуються рівнянням Шредінґера

(3.1)

до складу якого входять оператор Гамільтона (або, коротко, – гамільтоніан), енергія Е та функція стану Ψ. Взагалі кажучи, стаціонарних станів мікросистеми може бути багато і у будь-який момент часу вона з певною ймовірністю може знаходитись в кожному з них. Цей факт є наслідком прояву мікрочастинками хвильових властивостей; тому функцію стану часто називають хвильовою функцією. Ймовірність знаходження мікрочастинки (системи) у околі точки простору у стані з хвильовою функцією Ψ дорівнює , де – об’єм вказаного околу. З цього випливає, що має зміст щільності просторового розподілу ймовірності стану, що описується функцією Ψ. Крім того, якщо існування мікрочастинки – достовірна подія, то

(3.2)

(інтегрування здійснюється по усьому простору). Рівність (3.2) називають умовою нормування, а функцію, що її задовольняє – нормованою.

Очевидно (3.1) є рівнянням, з якого можна визначити енергію Е стаціонарного стану системи мікрочастинок, а гамільтоніан має зміст оператора енергії. Дійсно, якщо функція стану відома, то, згідно (3.1), результат дії на неї оператора Гамільтона дорівнює добутку цієї функції на величину енергії системи у цьому стані.

Якщо не цікавитись процесами, де істотними є ядерні перетворення, існування спіну ядер і електронів, а також релятивістські ефекти, то повна енергія кристалу, як системи електронів і ядер, являє собою суму

, (3.3)

кінетичних енергій руху усіх електронів і ядер та потенціальної енергії їх взаємодії

. (3.4)

Тут індекси підсумовування i та j є номерами мікрочастинок; (, ) і (, ) – радіус-вектор та імпульс i -го електрона і j -го ядра з зарядовим числом Z_j; m і M_j – їх маси, а символами та позначено множини координат усіх, відповідно, електронів і ядер.

Згідно положень квантової механіки оператор енергії системи мікрочастинок будується з функції, що описує її повну енергію шляхом заміни вектора імпульсу кожної з них відповідним оператором імпульсу . Тоді гамільтоніан кристалу можна подати у вигляді суми

. (3.5)

Розв’язок рівняння Шредінґера (3.1) з гамільтоніаном (3.5) дає, в принципі, відповідь на питання про закономірності руху електронів та вигляд їх енергетичного спектру. А це дає змогу пояснити велику кількість явищ та властивостей твердих тіл, таких як електричні, магнітні оптичні і т.д. Проте, на кожний м³ об’єму будь-якого твердого тіла припадає близько 10²⁶ частинок, тому хвильова функція, що входить до рівняння (3.1), залежить від величезної кількості змінних. Тому знайти її явний вигляд практично неможливо. Цей факт приводить до необхідності використовувати певні наближення, які дозволили б спростити задачу пошуку розв’язку рівняння (3.1).

Першим з них є так зване адіабатичне наближення, яке полягає у нехтуванні впливу теплового руху атомів на характер руху електронів. Як свідчать оцінки величини енергії руху електрона у кристалі, його швидкість набагато перевищує швидкість руху ядер. Тому за будь-якої зміни положень ядер у системі електронів практично миттєво встановлюється такий їх просторовий розподіл, який відповідає новому положенню ядер. Іншими словами, важка і повільна система ядер неістотно змінює характер руху легкої системи швидких електронів.

У цьому випадку при вивченні руху електронів ядра можна вважати нерухомими, закріпленими у вузлах кристалічної ґратки, а кінетичною енергією ядер (другий доданок у (3.5)) – знехтувати. Крім того, відносна незалежність руху систем електронів і ядер дозволяє функцію стану кристалу подати у вигляді добутку

(3.6)

хвильової функції системи електронів на хвильову функцію системи ядер . Хвильова функція електронів у цьому випадку залежить від координат електронів; координати ядер вважаються фіксованими параметрами, про що свідчить їхня позначка .

У рамках адіабатичного наближення задача про рух електронів і ядер у кристалі істотно спрощується. Дійсно, підстановка (3.6) у рівняння Шредінґера з гамільтоніаном (3.5) дозволяє замінити рівняння (3.1) з величезною кількістю змінних (, ) на систему двох рівнянь

(3.7)

кожне з яких містить координати мікрочастинок тільки одного типу (електронів або ядер). Тут

(3.8)

– гамільтоніан системи електронів, а

(3.9)

– ядер.

Кожне з рівнянь системи (3.6) дозволяє, в принципі, знайти енергію Е_е системи електронів, що рухаються в усередненому полі ядер, зафіксованих

у вузлах ґратки, або системи ядер – Е_я, так що енергія кристала Е = Е_е + Е_я.

Дата добавления: 2015-05-26