Температурне поле. Закон Фур’є

Процес розповсюдження тепла нероздільно пов’язаний з розподілом температури. В загальному випадку температура T в будь-якій точці простору являється функцією координат і часу. Наприклад, для декартової системи координат

. (1.5)

Сукупність значень температур в даний момент часу для всіх точок простору називається температурним полем. Температура є величиною скалярною, тому і температурне поле – скалярне. Рівняння (1.5) є математичним записом трьохвимірного температурного поля. Хоча можливі і більш прості випадки: одновимірні або двовимірні температурні поля, якщо температура залежить від однієї або двох координат відповідно. Розрізняють стаціонарне та нестаціонарне температурні поля.

Нестаціонарним або невстановленим температурним полем називають поле, температура якого змінюється і в просторі, і з часом. Стаціонарним або встановленим температурним полем називають поле, температура якого в будь-якій точці не змінюється з часом, тобто являється лише функцією координат:

, .

Рис.1.3 До визначення температурного градієнту

Переміщення з будь-якої точки в довільному напрямку супроводжується деякою зміною температури. Якщо нескінченно малим приростам просторових координат відповідають нескінченно малі зміни температури, то таке температурне поле називають неперервним. В протилежному випадку температурне поле є розривним. Надалі будемо розглядати лише неперервні температурні поля.

Якщо з’єднати точки тіла, що мають однакову температуру, то отримаємо поверхню рівних температур, яка називається ізотермічною. А криві, отримані в перерізі таких поверхонь площиною, – ізотермами. Ізотермічні поверхні та ізотерми не перетинаються, а лише замикаються на себе або на границю тіла (інакше в одній точці може бути дві температури, що неможливо). Зміна температури спостерігається лише при переміщенні вздовж довільно вибраного напряму х, що перетинає ізотерму (Рис.1.3). Найбільш різке збільшення температури спостерігається при переміщенні вздовж нормалі n до ізотермічної поверхні. Границя відношення температури DT до відстані між ізотермами по нормалі називають температурним градієнтом:

, К/м.

де – одинична нормаль.

Температурний градієнт є вектором, що направлений по нормалі до ізотермічної поверхні в точці О. Додатнім напрямком вважають напрям зростання температури. Значення температурного градієнту, взятого з протилежним знаком, називають падінням температури.

Вектор в різних системах координат представляється через одиничні орти наступним чином:

– декартова: ;

– циліндрична: ;

– сферична: .

Вивчаючи явище теплопровідності в твердих тілах, Фур’є встановив, що тепловий потік через елемент ізотермічної поверхні визначається значенням температурного градієнту в вибраній точці. Численні дослідні дані дали змогу встановити пряму пропорційну залежність між густиною теплового потоку і градієнтом температури:

, або . (1.6)

Це є основний закон теплопровідності Фур’є, який формулюється наступним чином: густина теплового потоку прямо пропорційна градієнту температури.

Знак “–” показує на взаємнопротилежні напрямки векторів градієнту температури та теплового потоку.

Для проекцій вектора густини теплового потоку на осі x,y,z маємо:

, , .

Для теплового потоку маємо .

Дата добавления: 2015-05-26