Объем тела

Начнём с почти очевидного замечания: прямой цилиндр высоты H, основанием которого служит квадрируемая плоская фигура (P), имеет объём, равный произведению площади основания на высоту: .

Возьмём многоугольники и , соответственно содержащиеся в (P), так, чтобы их площади и стремились к P. Если на этих многоугольниках построить прямые призмы и высоты H, то их объёмы и будут стремиться к общему пределу , который и будет объёмом нашего цилиндра

Рассмотрим теперь некоторое тело (V), содержащееся между плоскостями и , и станем рассекать его плоскостями, перпендикулярными к оси x, .

Тело имеет объём, который выражается формулой . (5)

Пример 1. Найти объём трёхосного эллипсоида, заданного каноническим уравнением (чертёж 10).

Плоскость, перпендикулярная к оси x и проходящая через точку M(x) на этой оси, пересечёт эллипсоид по эллипсу. Уравнение проекции его (без искажения) на плоскость yz будет таково: (чертёж 10).

, (x =const).

Отсюда ясно, что полуоси его будут, соответственно,

и ,

а площадь выразится так: .

Таким образом, по формуле (5) искомый объём .

Дата добавления: 2015-05-26