Пример 7.7

Пример 7.6.

Дано ДУ у^’ = у – х, удовлетворяющее начальному условию у (0) = 1,5. Вычислить с точностью до 0,01 решение этого уравнения на интервале [0, 1,5]. Вычисление выполнить методом Рунге-Кутта с двумя запасными знаками.

Выбираем начальный шаг из условия h ⁴ < ε = 0,01:

Для удобства вычислений примем h = 0,25.

Первый шаг: i = 0, x ₀ = 0, y ₀ = 1,5.

.

Второй шаг: i = 1, x ₁ = x ₀ + h = 0 + 0,25 = 0,25, y ₁ = 1,8972.

.

Метод Рунге-Кутта может быть применен к решению систем ДУ.

Пусть дана система ДУ первого порядка:

с начальными условиями х = х ₀, у (х ₀) = у ₀, z (х ₀) = z ₀.

В этом случае параллельно определяются числа Δ у_i, Δ z_i:

где

Тогда получим решение системы

Задана система ДУ

при начальных условиях х ₀ = 0,5; у ₀ = 1,0; z ₀ = 1,0. Найти решение системы при х = 0,6. Вычисления вести с пятью знаками после запятой.

Выбираем шаг h = 0,1 и определим коэффициенты:

Вычисляем приращение искомых функций

Значение искомых функций в точке х = 0,6

7.3.5 Общая характеристика одношаговых методов

Одношаговым методам присущи следующие общие черты:

1. Чтобы получить информацию в новой точке надо иметь данные лишь в одной предыдущей точке. Это свойство называется «самостартованием» - «self-starting behavior».

2. В основе всех одношаговых методов лежит разложение функции в ряд Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащие шаг h в степени до m включительно. Целое число m называется порядком метода.

3. Все одношаговые методы не требуют действительного вычисления производных – вычисляется лишь сама функция, однако могут потребоваться значения в нескольких промежуточных точках.

4. Свойство называется «самостартования» позволяет легко менять величину шага.

Дата добавления: 2015-05-26