Краткая теория

СВЯЗАННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МАЯТНИКОВ

Цель работы: изучение основных характеристик колебательной системы, состоящей из двух связанных маятников.

Оборудование: система двух связанных математических маятников, измерительная линейка, весы, секундомер, калькулятор.

φ

Fн

Рис. 1.

Рассмотрим одиночный математический маятник (рис.1), способный колебаться в плоскости чертежа. Основной закон динамики вращательного движения применительно к этому маятнику в предположении малости угла отклонения имеет вид:

, (1)

где – масса маятника, –его длина, – угол отклонения.

Получили уравнение гармонических колебаний:

,(2)

где (3)

циклическая частота колебаний маятника – число колебаний за секунды. Эта частота называется собственной частотой колебаний маятника, а само колебание с этой частотой – нормальным колебанием или гармоникой.

Рассмотрим теперь два маятника, связанные пружиной жесткостью так, как показано на рис. 2.

  Рис. 2.

Возьмём простейший случай, когда маятники одинаковые, т.е. равны их массы и длины. Очевидно, что при этом каждый в отдельности они имели бы одинаковые частоты колебаний.

Маятники могут колебаться в произвольных плоскостях, в частности, как в плоскости чертежа, так и перпендикулярно к ней. Среди всевозможных видов колебаний связанных маятников ради простоты рассмотрим колебания только в плоскости чертежа.

Рассмотрим случай возбуждения колебаний путем первоначального отклонения маятников от положения равновесия и при этом только на одинаковый угол. Очевидно, что здесь возможны два варианта: отклонения синфазны, т.е. в одну сторону, как показано на рис.3, и отклонения противофазны, т.е. в противоположные стороны, как показано на рис.4.

Рассмотрим вначале первый случай, изображенный на рис.3. Так как маятники отклонены на одинаковый угол, то пружина не будет испытывать деформации и, следовательно, не будет оказывать силового воздействия на маятники. Эта ситуация сохранится и во все последующие моменты времени, так как периоды колебаний маятников одинаковы, т.е.:

. (4)

Таким образом, связанные маятники будут совершать гармонические колебания с частотой , равной частоте :

.(5)

Рассмотрим теперь случай, изображенный на рис. 4. Ясно, что колебания маятников будут также идентичны друг другу, но в противофазе, т.е.:

.(6)

Поэтому рассмотрим колебания одного только маятника. На маятник в дополнение к силе тяжести будет действовать еще сила упругости со стороны деформированной пружины, которая согласно закону Гука, будет равна по модулю:

.

Двойка появляется потому, что при линейном смещении маятника на величину , пружина деформируется на удвоенное такое же расстояние. Эта сила упругости создаст момент силы , равный

и направленный в ту же сторону, что и момент силы тяжести. Следовательно, уравнение (1) примет вид:

. (7)

В приближении малых углов уравнение (7) примет вид:

.

Получим уравнение гармонических колебаний:

, (8)

где

(9)

циклическая частота таких колебаний.

Следовательно, связанные маятники могут совершать колебания с частотами:

или .

В общем случае произвольного способа возбуждения колебаний каждый из маятников осуществляет сложное колебание, характер которого удобно наблюдать при слабой связи между маятниками. В этом случае разность мала по сравнению с нормальными частотами и, при сложении гармонических колебаний с близкими частотами, возникают биения – колебания с периодически изменяющейся (пульсирующей) амплитудой. Частота биений:

. (10)

Таким образом, в системе двух связанных маятников в зависимости от способа возбуждения возможны следующие виды колебаний:

1. Оба маятника отклонили в одну сторону на одинаковый угол и отпустили. При этом возникает колебание 1 с частотой, определяемой по формуле (5).

2. Оба маятника отклонили в разные стороны на одинаковый угол и отпустили. При этом возникает колебание 2 с частотой, определяемой по формуле (9).

3. Один маятник удерживаем в положении равновесия, второй отклоняем на некоторый угол, после чего оба маятника отпускаем. При этом возникают биения, определяемые суперпозиций колебаний 1 и 2, с частотой, определяемой по формуле (10).

Отметим, что возможны и другие способы возбуждения колебаний, соответственно, и другой их характер.

Дата добавления: 2015-05-26