Повне дослідження функції і побудова її графіка

Приклад 21.

Знайти асимптоти графіка функції .

Розв’язок.

Функція визначена на всій числовій вісі, крім . Область визначення функції має вигляд: .

Отже, точка – точка розриву функції. Дослідимо точку розриву і обчислимо односторонні границі функції в зазначеній точці.

; .

Оскільки односторонні границі рівні , то в точці функція має розрив другого роду. Відповідно графік функції має вертикальну асимптоту (вісь ).

Можливе рівняння похилої асимптоти будемо шукати у вигляді . Обчислимо значення параметрів і (для дрібно-раціональної функції границі будуть однакові при ).

;

.

Підставляючи знайдені значення і , одержимо рівняння похилої асимптоти .

Графік функції показано на рис.8

Для побудови графіка функції необхідно з'ясувати його характерні риси, тобто дослідити функцію. Повне дослідження функції проводять за наступною схемою:

1. Знайти область визначення функції.

2. Дослідити функцію на неперервність. Знайти вертикальні асимптоти.

3. Дослідити функцію на парність і непарність.

4. Дослідити функцію на періодичність.

5. Знайти точки перетину графіка функції із вісями координат.

6. Визначити проміжки монотонності і екстремуми функції.

7. Визначити проміжки опуклості, вгнутості і точки перегину.

8. Знайти похилі асимптоти графіка функції. Якщо графік не має похилих асимптот, дослідити поведінку функції при .

9. Побудувати графік функції (при необхідності знайти додаткові точки графіка функції).

Дата добавления: 2015-05-26