Метод інтегрування частинами

Приклад 25.

Приклад 24.

Знайти інтеграли: а) ; б) ; в) .

Розв’язок.

а)

.

б)

.

в) .

Зауваження: розглянемо випадок, коли існує можливість заміни лінійного виразу , яка приводить до табличного інтеграла (див. Приклад 24а); так називану лінійну підстановку.

Якщо відома первісна для деякої функції :

,

то ,

тобто .

Використовуючи дане зауваження, можна розширити можливість застосування табличних інтегралів, наприклад:

;

;

;

.

Знайти інтеграли, використовуючи зауваження про лінійну підстановку:

а) ; б) ; в) ; г) .

Розв’язок.

а) ;

б) ;

в) ;

г)

Метод інтегрування частинами застосовується, в основному, коли підінтегральна функція складається з добутку двох множників певного виду. Формула інтегрування частинами має вигляд:

.

Вона дає можливість звести обчислення заданого інтеграла до обчислення інтеграла , який виявляється більш простим ніж даний.

Більшу частину інтегралів, що обчислюють методом інтегрування частинами, можна розбити на три групи:

1. Інтеграли виду , , , де – многочлен, – число, що не дорівнює нулю.

У цьому випадку через позначають многочлен , а всю іншу частину підінтегрального виразу через .

2. Інтеграли виду , , , , , де – многочлен.

У цьому випадку через позначають , а всю іншу частину підінтегрального виразу через .

3. Інтеграли виду , , де – числа.

У цьому випадку через позначають і застосовують формулу інтегрування частинами двічі, повертаючись у результаті до даного інтегралу, після чого даний інтеграл виражається з рівності.

Зауваження: У деяких випадках для знаходження поданого інтегралу формулу інтегрування частинами необхідно застосовувати кілька разів. Також метод інтегрування частинами комбінують із іншими методами.

Дата добавления: 2015-05-26