Приклад 29

Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо основні види інтегралів, підінтегральна функція в яких містить тригонометричні функції.

I. Інтеграли виду , де і – цілі числа.

Виділимо тут три випадки, що мають важливе значення.

1) Якщо обидва показники степеня і – парні невід’ємні числа, то необхідно перетворити підінтегральну функцію за допомогою формул зниження степеня:

2) Якщо хоча б один з показників степеня або (або і й ) непарне число, то інтеграл функції знаходять шляхом відділення від неї одного множника і застосування формули:

,

і наступної підстановки:

– якщо – непарне додатне число, то ;

– якщо – непарне додатне число, то .

3) Якщо обидва показники степеня і – парні і хоча б один з них від’ємний, то застосовують заміну змінної або . При цьому можуть застосовуватися формули:

.

Знайти інтеграли:

а) ; б) ; в) ; г) .

Розв’язок.

а)

У цьому випадку показники: – парні додатні числа. Застосуємо формулу зниження степеня:

б)

У цьому випадку показники: , – непарне число. Відокремимо від непарного степеня один множник першого степеня, скористаємося тотожністю і зробимо підстановку

в)

У цьому випадку показники: – непарне число, а . Відокремимо від непарного степеня один множник першого степеня, скористаємося тотожністю і зробимо підстановку

.

г) .

У цьому випадку показники: – парні, але – від’ємне число. Перетворимо підінтегральну функцію, скористаємося тотожністю і застосуємо підстановку .

II. Інтеграли виду де R – раціональна функція від тригонометричних функцій, знаходять за допомогою універсальної тригонометричної підстановки: . Тоді:

Дата добавления: 2015-05-26